开放性探究 动态式引导

章金玲

1 引言

2018年福建省质检理科试题第16题系动态三角形的最值问题，实测结果表明，学生的得分很不理想，考后笔者让学生再次思考，发现很多学生还是无从下手，三角形的“多个”、“动态”、“最值”集中在一题中，确实让学生望而生畏，在高三的二轮复习中，学生似乎都会了，又似乎都忘了，试卷讲评的满堂灌，教师的一言堂模式，似乎收效甚微，日本教育学者佐藤学说过，教育往往要在缓慢的过程中才能沉淀下来，于是，笔者在讲评课前，先给出3个问题进行探究，将“封闭题”改成“开放题”，让学生在发散性思维中感受三角形中边与角的关系，动与静的关系.

2 教学实录

环节1课前探究

探究1 已知AABC，A=60°，增加两个条件，能否确定三角形？若能确定，说出思路，

探究2 已知△ABC，A=60°，增加一个条件，能否确定三角形？若不能，研究有关最值或取值范围问题，

探究3 已知△ABC增加两个条件，能否确定三角形？若不能，研究有关最值或取值范围问题.（注：以上3个探究，各编一题，并附上完整解答）

设计意图 探究问题能否有效开展，一个很重要的原因是选取入口宽、操作性强的探究问题，将形式设置成开放性，这样学生的想法就多了，学习更为主动更有激情，不会束缚在同一题中，并且设计自编题环节，让学生当一回“老师”，学生的主动性增强，思考也更加深入和严密.

环节2 收集素材

学生的想法海阔天空，编拟的试题各式各样，感叹学生的活跃思维和巨大潜能，然而一堂课不能漫无目的，须有明确的引导方向和达到解决问题的目的，故在上课前对题目整理归类.

引导2：问题1中的④⑤，无法利用均值定理求解，考虑到均值定理的局限性，利用正弦定理将边化为角，通过三角函数求值域的方法来解决，但三角恒等变换具有一定的技巧性和繁琐性，请比较两种方法在求最值问题方面的利弊，

引导3：固定边a，点A在△ABC外接圆的圆弧上运动，以运动观点来解决AABC周长的取值范围、AABC面积的最大值和第⑥问，课堂上，笔者通过几何画板演示，让学生体验三角形动态变化过程，挖掘三角形的“变”与“不变”，问题1中的⑥，是将⑤改成选择题，只要拖动点A使AB过圆心，此时角C为直角，b² +c²=5应舍去，轻松得到答案为A.

引导4：启发学生用运动观点来研究问题2至4，关注动点的轨迹，关注不变量，

问题2：已知AABC，BC=2，AB= √2Ac，求AABC面积的最大值，

问题3：已知△ABD，C在AD上，AD= 3AC，且BC⊥BD，求角A的最大值，

问题4：已知△ABC，b+c=4，a=2，求AABC面积的最大值，

生1：问题2中边BC为定值，△ABC面积的最大值取决于点A到直线BC的距离，将点B，C固定，则点A的轨迹为阿波罗尼斯圆，由此就可以求出高的最大值，进而得到面积的最大值，

生2：问题3中将边AD固定，点C就固定了，而点B在以（D为直径的圆0上运动，当AB与圆0相切时，角A达到最大，

生3：问题4与问题2相同，AABC面积的最大值取决于点A到直线BC的距离，将边BC固定，则点A的轨迹为椭圆，当点A运动到短轴端点时，面积达到最大值，

师：3位同学都回答得很好，用动态的观点去看待不确定三角形，挖掘三角形中的动与不动，避免了繁琐的代数运算，

教师用几何画板演示，让学生直观地感受三角形的动态变化，并且提出用动态的观点试着解决省质检的三角问题，于是，题目的三角形已由一个过渡到多个，动态点已由1个过渡到2个，这样，如何建立2个动点的关系是解题的突破口，这时再引导学生进行思考，来实现.

生5：作CE垂直于x轴，垂足为点E;作DF垂直于x轴，垂足为点F，则RtABEC∽RtADFB，相似比为1：2，进而得到坐标关系，

生6：从点的运动变换入手，将BC逆时针旋转90°再拉伸为原来2倍得到点D.以点B为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，设点C（r cosa，r sina），则D（2r cos（a +90°），2r sin（a+ 90°）），点C在圆上运动，c（-l+√5 cosθ√5sinθ），则D（-2√5sinθ-2+2√5cosθ），

师：3位同学回答得都很好，分别从向量、平面几何、图像变换来诠释点C和点D之间的联系，寻找到解题的突破口，接下来，请同学们试着用动态的观点解决两道高考题.

环节5 高考链接

启发学生用有限来解决无限的问题，抓住临界状态来研究问题，

师：你们回答的太棒了.这两道题从题型看是填空题和选择题，应尽量小解巧解，两位同学从动态的观点分析，并用有限与无限的思想，抓住临界状态来研究问题，真的很棒.

教师还可用几何画板进行动态演示（如下图）.

环节6 归纳方法

提问：本节课，你有什么收获？

生：我对动态三角形有关最值问题的解决方法有了新认识：①利用基本不等式;②利用三角函数;③引进变量，构造函数;④解析法，坐标化;⑤做辅助线，利用几何性质;⑥运动观点，关注动点的轨迹，关注不变量;⑦极限思想，关注临界狀态.

师：回答得很好，方法多固然是好，但要引发我们深度思考：方法多样，如何精准选择切入点，不仅要与题目的条件和问题有关，而且也要与题目的类型有关，选择题、填空题、解答题的处理方式也应有所不同.

环节7 课后反思

如何选择恰当的方法来研究动态三角形的最值问题？如何合理地选择参数或变量，建立方程组或构造函数？如何联系三角形中的边与角的关系？如何建立多个三角形之间的联系？如何合理地建立坐标系？如何构造辅助线，利用平几知识解决三角形问题？

设计意图：笔者用6个“如何”引发学生在课外不断延展对动态三角形最值问题的处理与反思.学生思维的发展过程，不能仅仅局限于课堂，应延展到课后，通过作业与反思巩固提升.

3 教学反思

本节课以学生为主体，采用引导式教学和几何画板辅助教学，教师适当穿针引线，提高学生的参与度、思维度，激发学生的创造性.本节课标题中的“动态”，既形容三角形是在运动变化，又体现用运动观点处理三角形，更体现学生思维的动态发展，即从课前的发散思维到课上的理性思维，再到课后的深层思维.