基于MPCK视角下的初中数学概念教学

陈燕梅

概念是数学教学的核心，本文以“权、加权平均数”概念教学为例，从MPCK视角进行评析，并反思与探讨提升教师MPCK的策略.

1 MPCK理论

舒尔曼1986年提出PCK理论后，立即引起各国学者关注，从而使数学教师特有的学科教学知识从PCK泛学科的研究中独立出来，形成MPCK（数学教学内容知识）理论，MPCK理论要求教师必须具备数学学科知识（MK）、一般教学法知识（PK）、有关数学学习的知识（ CK）以及教育技术知识（TK）[1]，才能够把科学形态的数学知识有效转化为教育形态的数学知识，促进学生的数学理解，提高学生的数学能力和提升学生的数学素养，而这4类知识的综合与融合就是数学教学内容知识（MPCK），即数学教师从事数学教学所应具备的核心知识[2].

概念是思维的基本单位，数学概念是导出全部数学定理法则的逻辑基础，是建立理论系统的中心环节，同时也是解决数学问题的前提，在日常教学中，教师让学生记忆、理解、题海训练是概念教学的普遍现象，往往忽视概念的本质，因而学生在运用概念解决问题时常常出现生搬硬套甚至束手无策的现象，基于此，教师在教学中启发学生建构概念、理解概念的内涵和外延尤为重要，一个具有优秀MPCK的教师会让学生认识到：数学概念不仅仅具有冰冷的美丽，在形成和应用数学概念的过程中更蕴含着火热的思考[3].

2 MPCK视角下的概念新授课

2015年底，笔者有幸参加了福建省第三届教师技能大赛以及全国初中青年数学教师优秀课展示活动，均获得一等奖，作为经验交流，笔者在厦门市开了《平均数（1）》市级公开课，这节课受到了专家、老师和学生的认可，从备课到上课，以及评课和课后反思，笔者进一步完善了MPCK.在这里，笔者分享MPCK视角下的教学设计过程与反思.

本节选自义务教育课程标准实验教科书《数学》（人教版）八年级下册，是第20章“数据的分析”第1节“数据的集中趋势”第1课时的内容[4].

2.1 活动1 创设情境，建构概念

设计意图让学生感受引入“权”的合理性，理解“权”的意义.

七年级时，我们学习了当收集到数据后，通常是用统计图表整理和描述数据，为了进一步获取信息，还需要对数据进行分析，数据分析与我们的生活息息相关.

问题老师根据学生的期中考成绩和期末考成绩计算学期总评，小明同学期中考60分，期末考90分（百分制）.

（1）你能算出他的平均成绩吗？

追问：如何计算n个数的算术平均数？

（2）若以这个算术平均数作为学期总评，你认为合理吗？

追问1：为什么不合理？

追问2：如何体现期末考更加重要？

（3）你是怎么算的？为什么这么算？

（4）在这个问题中，3和7（举例）有什么用？

追问1：什么是“权”？什么是“加权平均数”？

追问2：还有哪些也是权？

（5）如何把这种加权平均数的计算方法推广到一般情况？

（6）期中考和期末考的分数不变，为何得到不同的总评成绩？

评析 活动1是本节的核心内容，教师运用“概念同化”来建构“权”与“加权平均数”的概念，概念同化过程是学生对概念的主动理解过程，是学生利用自己已有认知结构对概念进行重新建构的过程，曹才翰、章建跃在《数学教育心理学》中提出，概念教学得以充分展开的根本原动力是学生已有的认知结构与新概念之间的不平衡，根据皮亚杰的认知发展理论，学生在遇到新概念时，总是先用已有的认知结构去同化，如果获得成功，就得到暂时的平衡;如果同化不成功，则会调节已有认知结构或重新建立新的认知结构，以顺应新概念，从而达到新的平衡，教师应该根据学生概念学习的这种机制，利用新概念與学生已有认知结构之间的差异来设置相应的教学情境，以使学生能够意识到这种不平衡，从而引起学生的认知需要，促使学生展开积极主动的学习活动，

从MK上看，教师在引入新课时关注本章知识与已有知识的联系，让学生明确感受到，在收集数据后，要进一步获取信息，需通过计算统计量进行分析，数学源于生活，教师用学生熟悉的考试成绩计算总评来创设问题情境，通过问题串设计引导学生从已有的认知（算术平均数）中寻找差异，自主建立“权”的概念，问题简洁易懂，跳出繁杂的计算，激发学生的学习兴趣，凸显统计的意义，

从PK上看，教师通过启发式的讲授引领学生思考，从“权”的存在，到“权”的含义、加权平均数的计算，再反思“权”对结果的影响，新概念逐步浮出水面，在探究加权平均数的计算方法时，教师采用从一般到特殊的思想，启发学生自主获得计算公式，

从CK上看，教师在问题（2）环节，鼓励学生思考，并相互交流、讨论，课堂上，当学生回答“合理”时，教师及时引导学生阐述原因，并点拨关键点：“同样重要”;当学生回答“不合理”时，教师进一步追问原因，启发学生思考如何体现重要性不同，对于学生回答的不同形式的权，教师给予肯定，学生感受到了“权”的存在.

2.2 活动2 例题教学，应用新知

设计意图从统计图表中获取信息，计算算术平均数及加权平均数，进一步理解权的意义，

例1 一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示：

请根据下列问题分别确定两人的名次.

（1）按演讲内容占50%、演讲能力占40%、演讲效果占10%，计算选手的综合成绩.

（2）若演讲内容、演讲能力、演讲效果按照1：3：1的比确定，计算选手的综合成绩， 评析从MK上看，教师灵活处理了教材的例题，增加设计第（2）题，设计不同形式、不同数据的权，给予学生计算便利的同时，在对比中识记，巩固新知，感受权的重要性，

从PK上看，第（1）题由师生共同完成，教师规范书写解答，为后续学生解题的表达提供良好的示范，教师展示学生的第（2）题的答题情况，并由学生进行点评，

从CK上看，对于第（1）题，教师不是直接让学生计算，而是设问：“不用计算，聪明的你能否直接推断出他们哪一个的成绩更好？”，鼓励学生分析、推断，让学生对权的作用有更深的体会，在解决问题的过程中，教师引导学生关注以下内容：（1）这两名选手的平均成绩一样吗？不同的权对结果有什么影响？ （2）权不是独立概念，增加技能训练题，如85的权是多少？40%是谁的权？（3）关注第一问列式中的分母（50%+40%+10%），与前面权的计算公式统一.

2.3 活动3应用迁移，巩固提高

设计意图掌握计算加权平均数，进一步理解权的意义，

练习某广告公司欲招聘职员一名，A，B，C三名候选人的测试成绩（百分制）如下表所示：

（1）如果公司招聘的职员分别是网络维护员、客户经理或创作总监各一名，给三项成绩赋予相同的权合理吗？

（2）请你设计合理的权重，为公司招聘一名职员：①网络维护员;②客户经理;③创作总监，

评析从MK上看，此练习背景源于生活，解决问题的过程中需灵活运用加权平均数，呈现开放题，给予学生思维的空间，

从PK上看，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，学生感受数学现象和数学规律，从而抓住概念本质，领悟概念的内涵和外延，

教师预先设计好Excel表格程序如下：

（说明：教师根据加权平均数的计算公式预先设计好表格，根据学生的回答输入“权”，直接显示A、B、C的成绩）

从CK上看，教师设置开放性问题，让学生主动运用“权”影响一组数据的平均水平，帮助学生内化对权意义的理解，发展数据分析的观念.

2.4 活动4 独抒已见，说我所得

设计意图 知识与方法的梳理，进一步理解本节新知识，

问题1：这节课你学了什么知识？有什么感受？

追问1：加权平均数在数据分析中的作用是什么？

追问2：权的作用是什么？

问题2：在这节课中，“权”出现的形式有哪些？

追问：“权”的不同形式之间可以相互转化吗？（课后思考）

问题3：我们今天学习的“加权平均数”和以前学习的“算术平均数”都属于平均数，想一想它们之间有什么区别和联系？

问题4：数学源于生活，从刚才的学习中，我们知道权与生活息息相关，你还能举出其他例子吗？

问题5：关于本节的学习，你还有什么疑问吗？

评析从MK上看，教师紧扣教材重点难点，从以下几个方面进行引导归纳：

（1）“权”与实际生活息息相关;

（2）当一组数据中各个数据重要程度不同时，加权平均数能更好地反映这组数据的平均水平;权反映数据的相对重要程度，数据权的改变一般会影响这组数据的平均水平.

（3）如何计算加权平均数，

教师点评功在平时，优秀的人始终是优秀的，只要考核方式合理，他们并不受考核方式的影响，

问题2教师从学生的回答出发，指出百分比的形式有时也以小数或分数的形式出现，当然，体现数据的相对重要程度，不止上述形式，比如下节课将学习“权”出现的另一种形式，建议学生可以提前预习，为新课的学习做下铺垫，

问题3教师启发学生议关联，理头绪，建构知识体系，在概念获得的过程中，很重要的是通过概念之间的关系来认识新概念，结果不但使新概念获得心理意义，而且还使个体对已有的相关概念获得更加深刻的理解，

从PK上看，教师组织学生小组讨论，课堂气氛浓厚，

从CK上看，教师设置问题，引导学生思考、讨论、举例，课堂教學中，学生畅所欲言，列举了很多生活中的实例，谈及自己的感受，比如有的学生谈到中考总分计算的方式（不同学科不同权重），对应于自己的学习，应如何科学合理分配时间才会更加高效;有的学生谈到将来自己在参加招聘或招聘员工时，要注意根据岗位需求关注或设置权重等.

3 关于提升教师MPCK的反思

3.1 钻研教材，力透纸背分析，发展教师MK

在备一堂新课时，教师不但要“逐字逐句”研读教材，还要“力透纸背”，“精致”地处理教材，从而发展教师的MK.基于此，教师要解读课标，把握本节的教学目标，确定本节课的重点和难点;遵循学生的认知规律和思维发展水平，巧妙设计新知识的生成过程，并根据学情进行教学内容的增减;挖掘本节课蕴含的数学思想方法，挖掘本节课对学生后续学习最重要的迁移价值，挖掘本节课的教育意义等，

根据教材内容和学生情况，本节学习的主要内容是让学生在实际生活背景中理解平均数、加权平均数、权的意义;能从统计图表中获取信息，计算一组数据的算术平均数以及加权平均数，体会权的作用，教学的关键点是引导学生了解权的含义，进而认识加权平均数的统计意义及加权平均数从一个侧面反映一组数据的集中趋势，即平均水平，

统计的教学价值在于发展学生的理性思维，让人讲道理，以理服人，数据分析是统计的重要环节，平均数是衡量一组数据集中趋势的重要统计量，它反映了一组数据的平均水平，是度量一组数据波动大小的基准，为后续方差的学习奠定基础.

本节的重点是理解加权平均数的意义，体会权的意义;难点是对“权”的意义的理解，用加权平均数描述数据的集中趋势.

3.2 实践课改，体现学生主体，提升教师CK

实践课改，教师成为学生学习活动的组织者、引导者、合作者，应了解学情，关注学生的认知规律，体现学生的主体地位，提升自我的CK.

八年级的学生思维活跃，对观察、猜想、探索性的问题充满好奇，针对学生的心理特征，本课时在“权对于结果的影响”的教学环节，采用让先学生分析、推断的探究方式，让学生感受到探索的乐趣.

本节是数据分析這一章节的起始课，在此之前，学生学习了数据的收集、整理和描述，知道当收集到数据后，通常是用统计图表整理和描述数据，为了进一步获取信息，需对数据进行分析，之前学生已经学习了算术平均数，知道它可以反映一组数据的平均水平，但由于生活经验的局限，同时受认知水平的影响，学生对权的意义和作用的理解可能会有困难，因为缺乏对概念本质的理解，在运用加权平均数分析数据时，容易混淆数据和权，部分学生往往只会记住公式，而不会解释数据分析结果的实际意义或统计意义，把统计问题的学习仅仅停留在计算层面，基于此，教学中要让学生感受引入“权”的必要性、凸显“权”的重要性、揭示“权”的本质性，同时，让学生了解在现实生活中有许多问题可以通过分析数据作出判断，体会数据中蕴含着信息;了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法，发展数据分析观念.

3.3 立足目标，导航教学全程，灵活选择PK

教学目标是一切教学活动的出发点和最终归宿，以教学目标为基点导航教学全程，灵活选择PK.

本节的教学目标为：（1）理解平均数、加权平均数、权的意义;（2）能从统计图表中获取信息，计算一组数据的算术平均数以及加权平均数;（3）学生通过加权平均数分析一组数据的集中趋势，发展数据分析能力，逐步形成数据分析观念;（4）在课堂互动中鼓励学生积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲;进一步培养学生独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯，在对“权”统计意义理解的基础上，渗透公平公正、实事求是的价值观，

围绕着教学目标，细化到每一个教学环节，灵活选择PK.教师进行启发性的讲授，设计层层递进的问题引领学生思考;设计实效的例题习题，学生对于新知学习理解掌握，迁移应用.

这节概念课虽是高效率、有意义的，但仍然存在不足，虽是公开课，然而教师没有提前试讲，熟练程度还可以更好一些，每一次的公开课，都是教师教学技能往前迈进的重要平台，教师对数学知识的自觉追问、不断反思是优化MPCK的重要途径，最终实现数学知识向高效课堂的有效转化.

参考文献

[1]李渺，宁连华.数学教学内容知识（ MPCK）的构成成分表现形式及其意义[J].数学教育学报，2011 （2）： 10-14

[2]黄毅英，许世红，数学教学内容知识结构特征与研发举例[J].数学教育学报，2009， 18 （1）：5—9

[3]彭红亮.MPCK视角下的数学概念教学[J].数学通讯，2014 （7）： 84-87

[4]课程教材研究所、中学数学课程教材研究开发中心.义务教育课程标准试验教科书（数学）八年级下册[M].北京：人民教育出版社，2013