运用高中函数知识解决数学应用问题

吴骁龙

摘要：高中函数知识应用得比较广泛，而在实际应用数学中，比较常用函数建模思想来解决。本文对其具体应用方式进行了研究，在建模思想的基礎上，提高了对问题的有效分析能力。以此为解题模板，拓宽思维，有利于学习效率的提升。

关键词：高中；函数知识；数学应用；函数建模；思想

一、建立实际应用题中的函数建模思想

首先我们要有一个观念，实际应用题要把文字语言转化为数学语言，我们就需要画出抽象的示意图来简明表达，所以首先就是要考虑函数模型的构建，根据定义域在有限的区间去考虑。其解题步骤是：（1）阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么；（2）数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式，若是需要图解的，根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果，将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；（4）验证结论：检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案；（5）实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答。

二、建模思想在三角函数例题中的应用

高中数学函数部分的知识都比较抽象，我们在学习的过程中要把握题型的转换和学会举一反三看来问题，找出最优解，那我们就需要充分掌握函数部分的知识，在做题时能够快速知道所考题型需要那部分知识点，我认为找准模型是关键，我们在训练的过程中需要有意识地把建模思想提炼出来。从文字语言转化为数学语言需要我们去加工，抛掉有用部分为我们所用，函数与图像语言的有机结合可以使我们把复杂的问题变得比较简单，还可以帮助我们梳理思路，这样对于我们建立解题思维很有帮助。比如，我们在学习三角函数的问题时，常常需要把实际问题转化为图像问题。

【例1】（2013·江苏高考）游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260

m，经测量， .

（1）求索道AB的长.

（2）问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

【解析】（1）首先根据题意画出图形，在△ABC中，因为 ，所以 .从而sin B=sin[π-（A+C）]=sin（A+C）=sin Acos C+cos Asin C=

由正弦定理得

（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得

d2=（100+50t）2+（130t）2-2×130t×（100+50t）× =200（37t2-70t+50），

因0≤t≤ 即0≤t≤8，故当t= （min）时，甲、

乙两游客距离最短.

（3）由正弦定理算出，再根据题意时间限制选择符合的速度区间。

在解答实际应用题的过程中，我们需要注意以下两点：（1）解决实际问题时注意对模型进行检验，将模型求解结果与实际情境进行比较，做到与实际吻合。（2）应用三角函数建立函数模型时，突出了对三角函数工具性的考查，建模时注意相关角的范围。

三、建模思想在函数综合题中的应用

高考中普遍会出函数综合题，这就需要我们有扎实的知识功底和解题技巧。一方面，在学习书上的知识点时，全面掌握有关的函数知识，这是解题的首要因素。另外，在做题时要有严谨的态度，仔细审题，盲目做题多半会出错，所以我们先要弄清题目的已知条件，另外在实际应用题中，往往还会有隐含条件，需要我们去揣摩，充分利用好条件之间的关系，以问题为导向，运用相关方法和知识点去解决问题，逐步使逻辑明白化。在解决函数有关的应用题时，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题。解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答。比如，可以利用函数方程的建模思想来求二次函数的零点问题，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），求该二次函数的零点。我们可以画出大概的草图，当 时，根据三点法求出交点坐标，同理画出

的图像，我们会发现 >0，那么方程ax2+bx+c=0就会有两个不等的实根，△=0，那么方程会有两个相等的实根，也就是我们所说的二重根，这时二次函数的图象会与x轴有一个交点，而二次函数有一个二重零点或者是二阶零点；△<0，那么方程没有实根，二次函数图象与x轴没有交点，该二次函数也没有零点。

四、结语

由此可见，函数与建模思想在高中数学实际应用问题中具有非常重要的意义，能够使例题变得更加简单，使我们的解题思路更加清晰，从而激发学习的兴趣。

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