McMullen函数族的六个结论❋

李长军， 陈刚强

(中国海洋大学数学科学学院， 山东 青岛 266100)

McMullen函数族的六个结论❋

李长军， 陈刚强

(中国海洋大学数学科学学院， 山东 青岛 266100)

McMullen函数族； Fatou集；Julia集；康托圆

McMullen[3]最早研究了有理函数

(1)

的Julia集，证明了当正参数λ充分小时上述函数的Julia集是康托圆，同时不加证明的指出有理函数

(2)

当正参数λ充分小时也具有该性质。

Beardon A F[4]在他的著作中也研究了(1)这类有理函数的动力学性质，并且用不同的方法证明了正参数λ充分小时其Julia集是康托圆，并且还证得了其他的5个结论。

后来，这一类型的函数得到更多学者的关注并得到一系列结果．在大多数论文讨论中，研究对象主要集中在n=m的情形，即

(3)

除了n=m的这一类McMullen函数外，还存在着n≠m的情形。有一些著作对该情形已经进行了研究，如Steinmetz[7]就对于一般的n和m参数平面的结构作了比较系统的研究，并且还计算出了Sierpinski孔的个数。

1 预备知识

定义1[1]在Montel的意义下Rλz的正规的点的集合称作Rλz的Fatou集，用FRλ表示；Fatou集的补集称为Julia集，用JRλ来表示；等价的，JRλ也是Rλz的排斥周期点的闭包。

因为∞是Rλz的超吸引不动点，于是在∞处有一个直接吸引盆，记为Bλ；又Rλz将0映到∞，则0一定在Rλz的某个Fatou分支中，记0所在的Fatou分支为Tλ；可以发现要么Tλ∩Bλ=φ，要么Tλ=Bλ[2]。

定理A[4](Riemann-Hurwitz公式)设Rz是一个度至少为2的有理映射且假设

1)V是一个被有限多条互不相交的Jordan曲线界定的区域；

2)U是R-1V的一个分支；

3)在∂V上不存在Rz的临界值；

则存在一个整数m使得Rz是U到V上的m重映射且χU+δRU=mχV。

Devaney，Look和Uminsky[2]证明了下述定理，其中，一个集合是康托圆如果它同胚于集，这里是指单位圆周，Cantor集是指正实轴上的Cantor集[4]。

定理B[2](逃逸三分法) 假设Rλz的有限临界点的轨道趋向于∞，则

1) 如果Rλz的其中一个临界值位于Bλ中，则JRλz是康托集。

2) 否则，JRλz是连通集且Bλ和Tλ是不相交的开的单连通集。如果Rλz的某一个临界值在Tλ中，则JRλz是康托圆。

3)若某临界值位于Tλ的一个迭代前像里，JRλ是Sierpinski曲线。

定理C[4]设Rz是一个度至少为2的有理映射，且它的每个临界点都有一个向前轨道在Rz的一个(超)吸引循环中聚集。则Rz在JRz上扩张。

a)Tλ和Bλ是单连通的，而Fatou集的所有其他的分支是二连通的；

c)∞吸引了Rλz的所有临界点；

d)JRλ是一个康托圆；

e)存在JRλ的某分支不与FRλ的任一分支的边界相交；

f)Rλz在JRλ上扩张。

2 主要结果及其引理的证明

(A)Tλ和Bλ是单连通的，而Fatou集的所有其他的分支是二连通的；

(c)∞吸引了Rλz的所有临界点；

(d)JRλ是一个康托圆；

(e)存在JRλ的某分支不与FRλ的任一分支的边界相交；

(f)Rλz在JRλ上扩张。

在定理1的证明过程中将用到以下引理。

证明 首先，假设下文中都有λ充分小使得相关的不等式成立。同时，选取正数a，b，α，β，假设满足下列不等式：

在B上有

因此RλB⊂B。

在A上有

因此RλA⊂B。

还需证明J⊂K。发现在K的定义中可以用A的闭包替代A，且这表明K是闭集且非空。显然至少有3个点(它将是Jordon曲线的并集)，再由J的最小性得出J⊂K，因此J=K。证明完毕。

现定义2个环

由此有

(1)V包含V1，且W包含W1；

(2)Rλz是V到A上的n重映射；

(3)Rλz是W到A上的m重映射。

图1 集合V，W和AFig.1 The sets V, Wand A

证明 为了证明该定理，不失一般性，首先给出图1来展示嵌套环上的映射。

在W1上，有

为了完成该引理的证明，还应当说明V和W是不相交的二连通的区域，因此验证Rλz在它的临界点上的行为。

现在对于Γ上的z(和充分小的λ)。有

χΩ+δΩ=nχA

或χΩ+δΩ=mχA，其中χA= 0，

于是，χΩ=0。

因此，每个分支Ω都是二连通的。证明完毕。

通过验证该论证，显然我们可以在K的定义中用A的闭包替代A，因此K是闭集且非空。

3 主要结果的证明

下面给出定理1的证明。

定理1的证明 已经得到了

于是(b)也成立。因为如果(b)不成立，则将是F的某个分支的循环而非Bλ吸引某个临界点的向前轨道，这就产生了矛盾。同时注意到该条关于临界点的性质也导出了(f)(参看定理C)。

这里还存在的问题是必须说明这些环一定将0和∞分离。

nRλτ,0=±knσ,0≠0，

现在知道构造中的环都将0和∞分离，考虑来自构造中的任一减小的紧环列，称为A1，A2，…。用C1和C2表示A1的余分支，显然交集∩An将C1从C2分离，且因此将0从∞分离。

以上表明Tλ和Bλ被J分离，因此Tλ≠Bλ。

由此，再结合(c)和定理B，可推得(d)成立。

现在考虑Bλ。下面证明Rλz的有限临界点都不在Bλ内(它们映到Tλ，且Bλ向前不变)，且Bλ一定是单连通的。

下一步，当Rλz的非零临界点都不在Tλ中(如果在的话，则RλΓ也将位于Bλ内)，因此Rλz是Tλ到Bλ上的m重覆盖映射，在原点处有m-1个临界点，没有其他的临界点在Tλ上。

由Riemann-Hurwitz 公式

χTλ+m-1=mχBλ，

表明Tλ也一定是单连通的。

最后，如果m>n，

恰恰如同对RλΓ，看到RλQ⊂Tλ。

因此，Q位于F的某分支F1内。

又因为Q包含Rλz的所有n+m个零点，以及其所有n+m个非零有限临界点，Rλz将F1以n+m重的方式映到Tλ上，且Riemann-Hurwitz 公式

χF1+n+m=n+mχTλ，

这表明F1是二连通的。

而因为F的每个分支有有限的连通性，于是(e) 成立。由此，定理1证明完毕。

[1] Milnor J. Dynamics in One Complex Variable (3rd Edition)[M]. Princeton and Oxford：Princeton University Press, 2006： 40-41.

[2] Devaney R, Look D, Uminsky D. The escape trichotomy for singularly perturbed rational maps[J]. Indiana Univ Math J, 2005,4(6): 1621-1634.

[3] McMullen C T. Automorphism of rational maps[C]//Holomorphic Functions and Moduli. New York: Springer-Verlag, 1988: 31-59.

[4] Beardon A F. Iteration of rational functions[M]. Heidelberg: Springer Verlag, 1991.

[5] Devaney R. Structure of the McMullen domain in the parameter planes for rational maps[J]. Fund Math, 2005, 185(3): 267-285.

[6] Qiu W Y, Xie L, Yin Y C. Fatou components and Julia sets of singularly perturbed rational maps with positive parameter[J]. Acta Mathematica Sinica, English Series, 2012, 28(10): 1937-1954.

[7] Steinmetz N. Sierpinski curve Julia sets of rational maps[J] Comput Methods Funct Theory, 2006, 6(2): 317-327.

SixResultsonMcMullenFamily

LI Chang-Jun， CHEN Gang-Qiang

(School of Mathematical Science, Ocean University of China, Qingdao 266003, China)

McMullen family； Fatou set； Julia set； Cantor circles

AMSSubjectClassifications： 30D05； 37F10； 37F15

O174.5

A

1672-5174(2018)02-120-05

10.16441/j.cnki.hdxb.20150374

李长军， 陈刚强. McMullen函数族的六个结论[J]. 中国海洋大学学报(自然科学版), 2018, 48(2): 120-124.

LI Chang-Jun， CHEN Gang-Qiang. Six results on McMullen family[J]. Periodical of Ocean University of China, 2018, 48(2): 120-124.

国家自然科学基金青年项目(11301493)资助

Supported by National Natural Science Foundation of China(11301493)

2015-06-17；

2016-03-16

李长军(1956-)，男，博士，教授。E-mail：licj@ouc.edu.cn

责任编辑 陈呈超