Huang族校正电容层析成像图像重建算法

2018-12-21陈宇李洪宇

哈尔滨理工大学学报 2018年5期

陈宇　李洪宇

摘要：针对电容层析成像（ECT）技术中的“软场”效应和病态问题，提出了一种Huang族校正的电容层析成像图像重建算法。首先依据ECT系统的基本原理，推导出ECT问题中Huang族校正的校正公式，其次给出校正后用于ECT反问题求解仿真实验的迭代公式。最后，采用数字仿真模拟实验方式，验证提出方法的有效性。实验结果表明，Huang族校正方法对于极低位、低位、核心流而言，图像误差分别降到2439%、2581%和4091%，均低于LBP、Landweber、SD和CG方法；对于极低位、低位及柱状流而言，迭代次数分别为12、12、27次，比Landweber算法和SD法都要低，综合分析，可知Huang族校正方法实验效果良好。

关键词：

电容层析成像； Huang族校正；图像重建

DOI：10.15938/j.jhust.2018.05.014

中图分类号： TN 91173

文献标志码： A

文章编号： 1007-2683（2018）05-0080-06

Abstract：To solve the ‘softfield nature and the illposed problem in electrical capacitance tomography technology， a Huang clan correction image reconstruction algorithm for electrical capacitance tomography is presented Firstly，according to the basic principles of the Electrical Capacitance Tomography system， the formula of Huang clan correction in the problem of capacitance tomography is derived Secondly， the iterative formula for simulation experiment is given after the correctionFinally， the validity of the proposed method is verified by digital simulationThe simulation experiment results show that the error of the image for extremely low layer flow，low layer flow and core flow dropped to 2439%，2581% and 4091% respectively Results were lower than Linear Back Projection method，Landweber method，Steepest Descent method and Conjugate Gradient method In addition，the number of iterations were maintained at 12，12 and 27times，also less than the Landweber method and the Steepest Descent method The results of the analysis show that the effect of the Huang Clan Correction Image Reconstruction Algorithm are good

Keywords：electrical capacitance tomography； Huang clan correction； image reconstruction

0引言

過程层析成像技术简称为（process tomography，PT）技术。其包括电容层析成像技术（electrical capacitance tomography， ECT）、电阻层析成像技术（electrical resistance tomography，ERT）和电磁层析成像技术（electromagnetic tomography，EMT）。他们分别依据测量不同的电学特性，来进行相关信息的重建工作。其中ECT技术就是利用传感器测量得到的电容信号，依照某种算法重建出介质内部的介电常数分布情况。

ECT技术作为PT技术的一种，相比其他PT技术而言，拥有诸多优点。如成本低、可靠性高、简单易实现等[1-2]。另外ECT的非侵入性、高安全性和高速度性使其在解决连续相非导电物质的两相流、多相流成像问题中产生很好的效果。ECT技术的适用范围广泛，现已在化工、石油和医药等众多两相流和多相流检测领域有相应的应用[3]。

自从ECT技术出现以后，大量的图像重建算法被国内外的众学者所提出。Isaksen O在1996年就对ECT的各种图像重建算法进行过一次综合表述[4]。近些年，Tikhonov正则化方法[5]、正则化的GaussNewton方法[6]、快速模拟退火全局优化算法[7]、遗传算法[8]、支持向量机法等一系列新的ECT图像重建算法又被提出。

目前，对于ECT图像重建最常用几种方法[9]有直接算法中的LBP（linear back projection）法[10]和Tikhonov正则化法，迭代算法中的共轭梯度（conjugate gradient ，CG）法[11]和Landweber迭代法[12]。

ECT图像重建是一个高度非线性问题，因ECT技术具有的“软场”特性，该问题属于病态问题求解。采用针对与该非线性问题“邻近”的线性问题的解法不断逼近要得到的解的这样一种思想是简单而有效的。

ECT技术是否可以成功应用关键取决于ECT反问题求解的精度与速度的优劣[13]。LBP算法的成像速度非常快，但其成像精度上却有很大的不足[14]。CG算法在复杂流型上的成像精度并不特别理想。模拟退火算法、遗传算法和支持向量机法在某方面的优越性上有所强化，但却以牺牲其它性能作为代价，因此只能在特定领域中有所应用。

电容层析成像技术要实现满足工业实际应用需求的目标，紧紧地依赖于ECT图像重建算法的效果，所以寻找优秀的ECT图像重建算法是值得一直研究的目标。

本文提出了一种基于Huang族校正的电容层析成像图像重建算法，目的是获得更好的电容层析成像图像重建效果。仿真实验结果证明该算法可以达到研究目的。在与采用LBP、经典Landweber、CG以及SD（steepest descent）方法的仿真实验的重建图像、误差率和迭代次数进行对比后，可以发现本文提出的基于Huang族校正的电容层析成像图像重建方法显示出了其自身精度和速度上的优势。

1电容层析成像系统及ECT技术原理概要

在ECT研究中，常用的有6、8、12、16电极的ECT系统。这里来讨论典型12电极的ECT系统。12电极ECT系统主要组成部分有：电容传感器、测量与数据采集系统和成像计算机[15-18]，如下图1所示。

ECT技术的原理就是，根据不同相元素介电常数各不相同的特性，用电容传感器上的电极板对被测流体施加电压后，经数据采集系统测得的流体流动产生的变化的电容值，通过ECT图像重建算法，得到不同相元素的介电常数的分布，得到被测流体的截面重建图像[19-20]。

通常，一个 N 电极ECT系统中，独立电极对的总数M满足以下公式：

M=C2N=N（N-1）/2（1）

首先以这12 个极板的中某个极板为起点，依次对这 12 个极板进行编号。在测量过程中，首先编号为1的电极板被选择为源极板，即公共电极。然后为源极板加一固定电压值 U，再依次选取电极板

2、3、…、12 作为检测电极板，分别对电极板对 1-2、1-3、…1-12之间的电容值进行测量，且在每次测量时，都将其它闲置电极接地。接下来，继续选择电极 2作为公共电极，同理测出电极对2-3、2-4、…、2-12的电容值。依此类推，直至完成电极对 11-12 的电容值测量。此时，共能得到 66 个独立的测量电容值。

现今，大部分的ECT图像重建算法都是基于介电常数到电容映射的线性模型。经过离散化、线性化和归一化的模型[21-22]如式（2）所示：

C=SG（2）

式中，C∈Rm表示归一化电容向量，S∈Rm×n表示系数矩阵（灵敏度矩阵），G∈Rn表示归一化介质分布图像向量。其中，ECT图像重建的任务就是由给定的电容值C最终求解得到介电常数分布G。

2基于Huang族校正方法的电容层析成像反问题求解

有这样一个目标函数：f（x），设f∶Rn→R在开集DRn上二次连续可微，f在xk+1附近的二次近似为：

f（x）≈f（xk+1）+gTk+1（x-xk+1）+

12（x-xk+1）Lk+1（x-xk+1）（3）

对其求导则有：

g（x）≈gk+1+Lk+1（x-xk+1）（4）

令x=xk，yk=gk+1-gk，zk=xk+1-xk，那么将有：

L-1k+1yk≈zk（5）

现在，设Tk是第k次迭代的Hesse逆近似。矩阵Tk满足

Tk+1yk=γzk（6）

其中γ是一个参数。Huang族算法应用于二次函数时，产生共轭方向，具有二次终止性。所有Huang族校正公式都产生相同的迭代点列。对于非二次函数，Huang族校正公式所产生的点列仅依赖于参数γ[23]。

设Huang族校正公式为：

Tk+1=Tk+ΔM（7）

（6）式称为广义拟牛顿条件。为了满足我们（6），我们假定式（7）中的ΔM为zk与Tkyk的线性组合。即可以简单表示为：

ΔM=zkpTk+TkykqTk（8）

其中，pk和qk是待定的n维向量。pk和qk满足下列条件：

pTkyj=0，j=0，1，…，k-1；ρ，j=k，（9）

qTkyj=0，j=0，1，…，k-1；-1，j=k，（10）

选择pk和qk为zk与Tkyk的线性组合，式（9）式（10）将得到满足。如下：

pk=m11zk+m12TTkyk （11）

qk=m21zk+m22TTkyk（12）

适当选择pk和qk满足

pTkyk=γ（13）

qTkyk=-1（14）

那么，我们得到Huang族校正公式为：

Tk+1=Tk+zkpTk+TkykqTk（15）

其中pk和qk分别由式（11）式（12）给出，并且满足式（13）和式（14）。所以，可知在式（15）中，有五个参数，分别为γ和mrc，这五个参数中有三个为自由参数，Huang族校正公式依赖于这三个参数。

令γ=1，并使Tk对称，这时m12=m21，我们让m11为自由参数，这時，

m12=m21=1-m11sTkykyTkHkyk（16）

m22=-（1+m12sTkyk）yTkHkyk（17）

在ECT问题中，有：

zk=ΔG=Gk+1-Gk（18）

yk=STS（Gk+1-Gk）（19）

令

ρ=m11（ΔGTSTSΔG）2-ΔGTSTSΔG（STSΔG）TTkSTSΔG（20）

所以此时式（15）将写成：

Tk+1=Tk+ΔGΔGTΔGTSTSΔG

-TkSTSΔG（STSΔG）TT（STSΔG）TTkSTSΔG+ρrkrTk（21）

其中

rk=STSΔGTTkSTSΔG12ΔGΔGTSTSΔG

TkSTSΔGSTSΔGTTkSTSΔG（22）

下面把ECT问题使用Huang族校正来进行计算：

1）令ek=-Tkgk；

2）沿方向ek进行线性搜索，则有：

Gk+1=Gk+φkek；

3）对Tk根据Huang族校正公式进行校正，将得到Tk+1；

初始的Hesse取为单位矩阵，并且在正定矩阵STS后加上带系数的单位矩阵以解决在具有不适定性和病态性的ECT反问题中当灵敏度矩阵S奇异时，迭代收敛到一个非驻点的问题，所以我们最终得到的ECT反问题求解的迭代公式为下式：

Gk+1=（STS+kH+Tk）（STC-STSGk）+Gk（23）

3仿真与实验结果

基于以上理论，进行模拟仿真实验来验证算法求解ECT图像重建这一反问题的效果。针对极低位层流、低位层流、小半径核心流以及柱状流这四种流型进行预设置并采用MATLAB配合12电极的ECT系统来进行仿真实验。实验环境设定在配置Intel（R） Core（TM） i76700 @ 34GHz处理器，安装内存40GB，64位操作系统的计算机上。

依据以上实验条件，根据本文中提出的Huang族校正方法进行ECT图像重建，得到实验结果后，将其与LBP（线性反投影）法、经典Landweber法、CG（共轭梯度）法和SD（最速下降）法的图像重建结果进行对比。

ECT反问题求解中良好的精度与合理的速度是ECT技术能够成功应用的关键。在该仿真实验中，实验精度的确定依靠空间图像误差来判定。误差计算公式（24）如下：

ε=∑ni=1gi（img）-gi（init）∑ni=1gi（init）（24）

式中：n表示成像区域单元总数；gimg表示重建图像向量；ginit表示介质分布原型图像向量；i表示成像区域剖分单元索引。

实验速度则依照实验过程中的迭代次数来判定。迭代次数N越大，表示ECT图像重建的时间花销越大。设定实验产生的迭代误差满足公式（25）即停止迭代。

‖SGk-C‖<ξ（25）

Huang族校正算法（简写为Huang）成像结果与其它算法成像结果对比以及分析如下：

从上面的成像结果对比可以看出，这几种算法重建的图像可以说在形状上均大体接近原始流型，但与标准原始图像对比上的视觉误差各不相同。其中，对于极低位层流，Landweber方法和Huang族校正方法的成像效果相对更好，且Huang族校正方法的成像效果更佳。很明显，对于低位层流和核心流，Huang族校正方法最接近原始图像。

表2展示了各种方法重建的图像与原始图像的误差百分比。I 、II 、III 、IV分别代表极低位层流、低位层流、核心流以及柱状流。可以从中看出，对于I 、II 、III这3种流型，采用Huang族校正方法所成图像的误差率均为最低，与表1中所显示结果基本一致。

从表3可看出，对于I、II、IV 3种流型，Huang族校正方法的成像迭代次数均比Landweber方法和SD方法要少，且结合表2，可以发现，对于这3种流型，Huang族校正方法的成像误差百分比也是这3种方法中最低的。在流型I、II和III上，Huang族校正方法与CG法相比较，虽然迭代步数均有增加，但综合表2我们发现，这3种流型成像的误差百分比却明显要比CG法低，特别对于流型II，CG法和Huang族校正方法的成像迭代次数明显低于Landweber方法和SD方法，且成像误差百分比也均低于其它方法，Huang族校正方法的迭代次数只比CG法的迭代次数增加了很少的几步，但是在成像误差百分比上却又有所下降。

综合以上分析，可以知道采用该种Huang族校正方法来进行ECT图像重建是一种值得考虑的方法。其在图像重建的精度与速度上均有其优势。

目标算法与其他算法的范数残量误差比较如下：

图2分别针对于以上实验的4种流型，来对经典Landweber、 SD、CG及Huang族校正算法的0～20步迭代的2范数残量误差进行比较，其中蓝色曲线表示Huang族校正方法的范数残量误差曲线。由图中信息可得知，對于极低位层流、层流这两个流型，Huang族校正方法在迭代约第3步的时候就已经得到最好的范数残量误差，且对于极低位层流，整体上Huang族校正方法的范数残量误差都要小于经典Landweber方法和CG法；对于低位层流，Huang族校正方法的范数残量误差在一定范围内是最小的。对于核心流，Landweber方法、SD法以及Huang族校正方法，范数残量误差均整体在05以下，明显要稳定于CG法。对于柱状流，Huang族校正方法在迭代一开始，其范数残量误差比其他3种方法的范数残量误差均要小，随着迭代步数的增加，逐渐接近于经典Landweber方法，并保持在其附近范围。

综合以上分析，可以知道采用该种Huang族校正方法来进行ECT图像重建是一种值得考虑的方法。其在图像重建的精度与速度上均有其优势。

4结论

本文依据ECT图像重建这一反问题的病态性提出了一种运用Huang族校正的方法来解决ECT图像的重建的问题。详细给出了该种校正方法在ECT图像重建这一反问题中的校正公式。最后依照利用Huang族校正公式而得到的ECT反问题求解迭代公式而进行仿真实验。仿真实验及其结果证明了此Huang族校正方法是在解决ECT图像重建问题上是一个有效的方法。在与LBP、经典Landweber、CG以及SD方法的重建图像、误差率和迭代次数的对比上，基于Huang族校正的方法显示出了其自身精度和速度上的优势。该方法高效且简单，是一种解决ECT图像重建问题的有效方法。

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