核心素养下培养学生数学抽象能力

陈美丽

“人们在掌握知识时，如果没有理解意义，那么，在知识被淡忘后，它就很难留下什么；如果人们在学习知识时理解了对它生命的意义，即使知识已被忘记，这种意义定可以永远地融合在生命之中。”也就是说，我们的数学教学不仅是要教会学生基本知识和基本技能，而且要使学生能在正式结束学校教育后，还能利用从学校获得的思想方法和思维习惯独立地向前迈进。因此，要培养学生的数学核心素养。数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析。要培养学生的数学核心素养，我们要在每堂课的教学中渗透思想方法，开启学生智慧，发展学生思维，使学生能在未来的路上追逐梦想，超越自我。下面，笔者从三个方面对培养学生的数学抽象能力作简单探索。

一、从特殊到一般，启发学生对概念的理解

从初中生的思维特点来看，具体形象的问题在他们的认知中属于浅层次的内容，他们稍加动脑便可轻易解决，但是抽象化的数学问题对他们而言就属于比较深层次的内容了，有时难以驾驭，对问题也就束手无策了。在概念教学中，如果仅把概念读几遍，或即便让学生背出来，但其根本没有领会概念的内涵，那么即使对概念的内容滚瓜烂熟，也是没有任何意义的。我在进行概念教学时，不会非常苛刻地让学生一字不差地背出来，而是让他们在探索的过程中理解概念的含义，使其学会用概念解题，这是我们在数学课堂教学中应追寻且可以做到的。

例如：在教授函数的概念时，我从学生的生活经验出发，设置了很多实际问题，让学生列出代数式，探索简单实例中的数量关系和变化规律，如：“列车从甲地驶往乙地，速度是200km/h，路程S和时间t有怎样的数量关系？”“搭1条小鱼需8根火柴棒，每多搭1条小鱼就要增加6根火柴棒。如果搭n条小鱼所需火柴棒的根数为S，那么S和n有怎样的关系？（如图1）”……还有一些表格和图形的实例，问题丰富，类型完整。

同学们对这些实际问题感到非常熟悉，也能够用已有的认知结构进行解答，最可喜的是他们还能自己举出一些类似的实例，如：“签字笔每支4元，求所需付款额w与购买支数m的关系”等。学生在这么多的实例中感受到了变化过程中两个变量之间的关系，明确了“一个变量变化时，另一个变量也随着变化；一个变量确定时，另一个变量也随着确定”这一基本事实，然后我再给出函数概念——“在一个变化过程中的两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。”这样，从一个个特殊的实例中揭示出一般规律，再归纳得出函数的概念是非常自然的，学生就不会感觉这一抽象概念像披着面纱一般，模糊不清，而是如水洗过一般，纯澈、清亮。

让学生在一个个具体实际问题中感悟，学生通过自主探究或与同伴合作交流，从类似的实例中深入研究，教师在学生充分探索活动的基础上揭示数学概念，可激发学生思考并使其形成概念，有利于学生更好地感悟数学模型思想，更好地理解和掌握概念，抽象的数学内容已不再是遥不可及了，而是深深地建构在学生的认知结构中了。正如苏霍姆林斯基所说：“只有学生通过自己努力理解的东西，才能成为他自己的东西，才是他真正需要掌握的东西。智慧若离开紧张的动脑，离开积极的思考和独立的探索，就不会得到发展。”

二、从操作到归纳，促进学生对定理的把握

《新课标》指出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”因此，在教学过程中，我们要努力揭示数学知识的发生过程和本质属性，使学生能追寻到数学发展的历史足迹。在实际教学过程中，一些教师不舍得花时间在定理的形成上，而是架空地向学生强调对定理的熟练应用。其实，这是一种舍本逐末的做法，学生还未对抽象的定理理解和掌握，就赶鸭子上架似的加以运用，可想而知，这是无法进行抽象思维和逻辑推理的。所以，我们可以采取一些简单而有效的措施，促进学生对定理的掌握，让他们能驾轻就熟地应用定理，我觉得设置操作环节不失为一种好的策略。

例如：在讲授“平行四边形的判定”时，我让学生在本子的横线格上画出平四边形，将问题的探究转化为学生的需求，唤醒了学生的求知欲。学生刚学完定义，又有小学里对平行四边形的认识，很快又画了一组平行线（如图2）。我对这种方法给予了充分的肯定，它自然而然地渗透了定义的判定功能。也有同学另辟蹊径，他们从形象思维出发，凭着自己的感觉在横线上画出了两条相等的线段并且连接（如图3），从而得到了平行四边形。我让学生说理证明，他们很自然地联想到连接对角线，利用全等三角形、平行线判定定理进而证明所连接的线段是平行的，从而得到“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”。简单的操作实验、抽象的定理归纳就这样一气呵成地被学生做到了，学生的自主探究、主动完成远比教师的喋喋不休要省时有效，突破了难点，提高了能力，在后续的推理论证中就能游刃有余、灵活应用。

学生只有亲自经历数学知识的探索，深刻地理解数学知识，才能有效地迁移和灵活地应用。正如陶行知先生所说： “将花草解剖开，看它是如何构造的。”他还说“人生两个宝，双手与大脑。”意思是学生需要通过自己的实际操作来探寻知识的奥秘，以动手实验来促进思维的产生和发展。机械地模仿和记忆无法提高数学的抽象思维能力，只有通过学生自己的探究和挑战，充分地进行思考和归纳，经历了知识形成的过程，才能体验到新的成功，才能点亮智慧、发展思维、提高能力。

三、从直观到想象，引导学生对问题的解决

美国著名数学教育家M.克莱因说：“数学的直观就是对概念、证明的直接把握。”德国哲学家康德也认为“缺乏直观的概念是盲目的。”意思是说，我们在数学教学过程中要让学生从直观出发，用图形来描述和刻画数学问题，从而解决数学问题。确实如此，初中学生的空间想象能力还处于起始阶段，相对薄弱，所以必须先培养他们的几何直观能力，使其对事物有直观的感性认识，然后再由直观感悟到想象猜测，进而进行归纳证明、推理求解，使感性认识飞跃到理性认识。

例如：在学习“一次函数的图像”时，我拿了一根香并点燃，让学生感受香的长度随着燃烧时间的变化而变化，帮助学生理解课本图片提供的信息，然后引导学生填表、描点、连线，从而探索出一次函数的图像是一条直线。学生直观地感受到香的长度随时间的推移而缩短，通过观察和比较发现了函数的性质是可以用图像来刻画的，抽象出一次函数的图像，培养了学生用“数形结合”的思想方法解决数学问题的能力。在以后行程问题、工程问题等无法用实验的办法来解决时，他们会根据前面的经验想象出路程与时間的图像关系、工程与时间的图像关系等。

借助直观模型，使学生顺利地完成从形象思维到抽象思维的过渡，通过想象，转化成头脑中的图式，发展学生的图形语言和空间想象能力。数学家徐利治说：“学习一条数学定理及其证明，只有当我能把定理的直观含义和直观思路弄明白了，我才认为真正懂了。”在我们的初中数学教学中，不论是几何还是代数，数学的抽象性问题需要学生的直观想象来解决。因此，教学中需要借助大量的生活实物模型，帮助学生观察、思考、判断，使实际问题的解决转变成一个“数学化”的过程，让学生能在特殊事物的直观中获得启发，进而能想象出事物的一般规律，从而借助直观想象促成抽象思维的发展，逐步提高学生的数学素养，培养学生的表达能力和数学思维能力。

总之，在培养学生核心素养的道路上，我们任重而道远。我们要关注数学内容、数学教学理论，更要关注我们所要培养的学生，要以学生发展为本，要重视引导学生在课堂中不断探索数学知识，不断感悟数学思想，不断积累数学活动经验，使学生具备适应未来社会发展所需的学习策略、方法和能力。