非线性包装件加速度响应首次穿越问题分析
2018-12-21朱大鹏
朱大鹏
(兰州交通大学 交通运输学院，兰州 730070)
包装件在流通过程中通常要受到跌落冲击、随机振动、堆码压力等外载荷的作用，分析包装件在各种载荷作用下的响应及损坏情况，是运输包装领域中研究的一个重要问题。由于包装件在跌落时，在短时间内其运动状态发生了较大的改变，很容易造成损坏，因此，研究者围绕着包装件的跌落问题，开展了一系列的研究。Wang等[1-2]将包装件建模为二自由度系统，研究了线性和非线性包装件在冲击激励作用下的响应，得到了跌落破损边界曲线，分析了频率比、阻尼、无量纲速度对边界曲线的影响。王军等[3-6]采用数值分析的方法研究了包装系统在半正弦冲击激励作用下，产品中关键部件的响应，提出了三维冲击谱的概念，分析了各参数对产品易损部件响应加速度峰值的影响规律。王军等[7-8]对多层堆码包装系统建模，分析了该系统在半正弦冲击激励下的组合冲击谱和组合破损边界曲线，研究了各参数对冲击谱和破损边界的影响。文献[9]通过实验获得了单次跌落冲击对产品的损坏程度之间的关系，用于预测产品在多次冲击作用下的损坏，提高了产品受到连续冲击受损程度的预测精度。Daum[10]考虑了产品关键部件塑性破坏模式，提出了构建产品疲劳冲击谱的方法。高德等[11-12]在构建非线性包装系统模型时，考虑了包装件内产品的转动，分析了包装件在受到冲击时的响应。陈安军[13]采用变分迭代理论分析了非线性包装件的跌落响应问题。
除了冲击载荷外，包装件在流通过程中，长时间受到随机振动的作用。在随机振动载荷作用下，包装件的加速度响应有可能超出产品的脆值引起产品的损坏，该问题即为包装件加速度响应的首次穿越问题。研究包装件的首次穿越问题，对于优化包装设计、提高包装件在流通中的可靠度具有重要意义。结构的首次穿越问题是结构随机动力学领域的一个重要研究问题，但在运输包装领域，对该问题的研究还比较欠缺。目前研究结构响应首次穿越的主要方法包括：一阶可靠性和二阶可靠性法[14]、重要抽样法[15]、响应面法[16]、截尾等效线性化方法[17]等。这些方法都是围绕着设计点进行分析的，因此设计点的准确求解对于分析首次穿越是至关重要的。但对于非线性系统的加速度响应首次穿越问题，由于系统响应无法直接求解，故其极限状态方程也无法直接表达，因此设计点无法用分析法求得。在文献[18]中，采用了将非线性系统等效线性化的方法求解系统设计点。文献[19]基于系统的镜像激励可以很方便的获得非线性系统的设计点，但该方法仅限于位移响应的首次穿越。本文结合模型修正因子法(Model Correction Factor Method，MCFM)[20-21]，建立了非线性包装件随机振动加速度响应首次穿越问题的设计点求解方法，采用一阶可靠性方法分析包装件的失效概率，分析结果与模拟结果的对比表明，本文提出的方法具有良好的准确性。
1 包装件加速度响应的首次穿越
(1)
图1 单自由度包装件简化模型Fig.1 Simplified single degree of freedom package model
(2)
如图2所示，极限状态方程把向量空间u分成两部分，g>0时，包装件安全，g≤0时，包装件发生首次穿越损坏。通常方程g在空间u中等效为超曲面，把该曲面上距离坐标原点最近的点定义为设计点u*，即
(3)
式中：‖·‖为向量的模。应用一阶可靠性方法(First Order Reliability Method, FORM)分析首次穿越概率时，用一个通过设计点u*的切平面近似逼近极限状态曲面，此时包装件首次穿越损坏概率可用式(2)估算
(4)
式中：函数Ф[·]为标准正态累积分布函数，β为坐标原点到设计点的距离，称为可靠度指标
(5)
式中：α(Gc,t)为极限状态曲面在设计点u*处反单位法向量，如图2所示。
图2 应用FORM分析包装件可靠度Fig 2. Vibration reliability analysis using FORM
假定图1所示的单自由度包装件模型为线性的，即弹性系数k和阻尼系数c均为常数，则有
(6)
式中：z=b-x，应用杜哈梅尔积分，产品m的加速度响应为
(7)
(8)
(9)
式中：向量a(t)=[a1(t),a2(t), ...,an(t)]T，且
(10)
由式(9)，线性包装件在随机振动激励条件下的极限状态方程为
g(u,Gc,t)=Gc-a(t)·u=0
(11)
很显然，该方程是一个关于随机变量u的线性方程，由图2所示，可得求解设计点的解析式
(12)
对应的可靠度指标为
(13)
由以上的分析可知，对于线性包装件，其加速度响应可以用解析式表示，对应的极限状态方程是标准正态随机向量的线性方程，因此设计点和可靠度指标可用解析式表达。但对于非线性系统，系统加速度响应无法直接求解，对应的极限状态方程也无法用解析式表示，因此，无法用传统的方法求解设计点和可靠度指标。为解决该问题，本文应用模型修正因子法，构建了非线性包装件设计点的求解方法。
2 模型修正因子法
模型修正因子法本质上是一种响应面法，其基本思路是在关键点(本文为设计点)附近的区域处构建一个理想化极限状态曲面近似逼近真实的极限状态曲面，合理定义修正因子，使理想化的曲面逐步逼近真实的曲面，经过迭代逼近后，由于理想化曲面的基本特性与真实曲面基本特性几乎相同，故可用理想化曲面替代真实曲面分析系统可靠度问题。由于求解线性系统振动可靠度问题的简便性，我们通常在u空间中利用超平面近似逼近真实的极限状态曲面。
(14)
(15)
定义修正因子ν(u)为
(16)
根据式(16)我们可定义修正理想化模型，其对应的极限状态方程为
(17)
将式(16)代入式(17)，易得
(18)
这表明，修正理想化模型和真实模型完全相同。将修正因子在设计点u*处进行泰勒展开
(19)
3 理想化模型的构建与优化
(20)
图3 应用理想化线性模型识别系统设计点Fig.3 Design point identification using idealized linear model
β≤βi
(21)
θopt(Gc)=arg min{βi(θ)}
(22)
式中：βi(θ)为应用模型修正因子法求得的参数为θ的线性化系统的可靠度指标。通过式(22)的最优化，可求得参数为θopt最优理想化线性模型，该模型对应的设计点即为非线性系统的真实设计点u*。
4 算例分析
假定一单自由度非线性包装系统，如图1所示，运动方程式为
(23)
(24)
式中：ceq≈c，keq>k，因此本文只需优化计算一个参数keq，令keq的初始值为k，逐步增加k值，在每个不同的k的条件下应用模型修正因子法计算βi，βi达到最小时所对应的k即为最优的keq。keq的优化计算结果如图4所示。
图4 keq的优化分析结果Fig.4 Optimization of keq
从图中可以看出，本例中，最优keq=为955 700 N/m，对应的可靠度指标β=2.659 9，参数ν*=1.064 3。在获得非线性包装件的等效线性系统后，可应用式(20)构建系统的极限状态方程，根据该方程应用一次可靠度法分析包装件的加速度响应的首次穿越损坏，其中，可靠度指标β用式(13)求得，向量a(t)应用式(10)求得，h(t)用式(8)求得，令s(t)=σ，首次穿越损坏概率应用式(4)求得，分析所得的包装件加速度响应的首次穿越损坏概率结果如图5所示。为验证本文构建的方法的准确性，图中给出了原始蒙特卡洛模拟(N=107)结果进行对比，其中，支座随机振动激励应用谐波信号叠加的方法进行模拟。从图中可以看出，应用本文构建的模型修正因子法可以较准确预测非线性包装件的加速度首次穿越概率。图5中给出了应用等效线性化方法分析的首次穿越损坏概率曲线。结果表明，本文采用的模型修正因子法分析非线性包装件的加速度首次穿越损坏概率较为准确，而应用等效线性化方法分析首次穿越损坏概率存在着一定的误差。对非线性包装件应用等效线性化方法分析首次穿越损坏概率出现误差的主要原因在于，非线性系统受到白噪声激励时，其加速度响应呈非高斯分布，而等效线性系统的响应无法反映这一特征。等效线性化方法的误差大小取决于系统非线性程度的大小，该方法的误差分析在文献[23-24]中有详细论述。
图5 非线性包装件加速度响应首次穿越损坏概率Fig. 5 Acceleration response first passage failure probability of nonlinear package
5 结 论
本文研究单自由度非线性包装件在高斯白噪声随机支座激励条件下的加速度首次穿越问题。首先将支座激励白噪声在正态随机空间中离散化表达，构建了非线性包装件设计点的求解方法。考虑到线性系统首次穿越问题的简便性，应用模型修正因子法构建了非线性系统的等效线性化系统的求解方法，针对方法中的一系列线性化极限状态超平面不一定能在设计点与真实极限状态曲面相切的问题，提出了采用最优化方法分析了设计点的求解方法。本文应用了单自由度三次非线性包装件实例验证了本文提出的分析方法的准确性。结果表明，本文提出的方法可较好地预测包装件的加速度首次穿越损坏概率。
分析包装件在随机振动激励条件下的首次穿越损坏概率对于优化包装件的设计、减少包装件在流通过程中的损失等具有重要意义，本文仅考虑了包装件的非线性，今后该领域的研究可从以下两个方面进行深化：
(1)包装件模型中应考虑易损件，即包装件应构建为双自由度模型。
(2)应考虑包装件流通过程中随机振动的功率谱密度曲(Power Spectrum Density,PSD)线的具体特征，确保模拟的随机激励与真实流通环境相符。
