矩阵最小多项式的求法

李志秀

(晋中学院数学学院,山西晋中030600)

先给出求矩阵最小多项式的特征多项式法[1-5]。

定义1设A∈Pn×n，在数域P上的以A为根的多项式，其中次数最低的最高次项系数为1的非零多项式称为矩阵A的最小多项式。

定理1设A是数域P上的一个n级矩阵，f(λ)是A的特征多项式，则f(A)=0。

定理2设g(x)是矩阵A的最小多项式，那么f(x)以A为根的充要条件是g(x)整除f(x)。

证明充分性是显然的，下面证明必要性。

设f(x)以A为根，因g(x)是A的最小多项式，可 设f(x)=q(x)g(x)+r(x) ，其 中r(x)=0或∂o(r(x) )＜∂o(g(x) )，所以f(A)=q(A)g(A)+r(A)，而g(A)=0且f(A)=0，故r(A)=0。如若r(x)不恒等于0，则有 ∂o(r(x) )＜∂o(g(x) )，这与g(x)是最小多项式矛盾，因此r(x)恒为0。故g(x)|f(x)。

定理3设A是数域P上的一个n级矩阵，A的特征多项式为,其中λ1,λ2,…,λs是互不相同的，mi(i=1,2,…,s)是正整数，且，则A的最小多项式为其中ki是在1,2,…,mi(i=1,2,…,s)中使g(A)=0的最小正整数。

证明因为f(λi)=0(i=1,2,…,s)，且λ1,λ2,…,λs是互不相同的，所以λ1,λ2,…,λs是A的互不相同的特征根，因而λ1,λ2,…,λs都是A的最小多项式的根，因此可设A的最小多项式为φ(λ),其中ki≤mi(i=1,2,…,s)是正整数，φ(λ)的首项系数为l，且φ(λi)≠0(i=1,2,…,s)。 因为f(λ)是A的特征多项式，由定理1，f(A)=0，且由定理1，可得g(λ)|f(λ),即。所以因为φ(λ)的首项系数为 1,ki≤mi(i=1,2,…,s),φ(λi)≠0(i=1,2,…,s),所以φ(λ)=1。从而都是正整数，由最小多项式定义可知，ki是1,2,…,mi(i=1,2,…,s)中使g(A)=0的最小正整数。

综上所述,用矩阵A的特征多项式求A的最小多项式的一般方法。其步骤如下：

设A是数域P上的一个n级矩阵，A的特征多项式为，其中λ1,λ2,…,λs是互不相同的，mi(i=1,2,…,s)是正整数，且，则A的最小多项式为1,2,…,s),然后依次取ki是 1,2,…,mi(i=1,2,…,s)，计算g(A)，直到找出使g(A)=0的最小正整数ki(i=1,2,…,s)为止。

例1设求A的最小多项式。

解A的特征多项式为

设A的 最 小 多 项式 为g(λ)=(λ-2)k1(λ-1)k2，(1 ≤k1≤2,1≤k2≤2),因为

所以k1=1，k2=2，因此A的最小多项式为g(λ)=(λ-2)(λ-1)2=λ3-4λ2+5λ-2。

下面讨论求解矩阵最小多项式的另外一种解法——Jordan标准形法。

定理4相似矩阵具有相同的最小多项式。

证明设矩阵A的最小多项式是m(x)，矩阵B的最小多项式是n(x)，由A与B相似知B=P-1AP，其中P为可逆矩阵。故m(B)=m(P-1AP)=0。由定理2知，n(x)整除m(x)，同理可证m(x)整除n(x)。由于m(x)与n(x)都是首项系数为1的，故m(x)=n(x)。

定理5设是准对角矩阵，且mi(λ)分别为Ai的最小多项式，m(λ)为A的最小多项 式 ，则m(λ)=[m1(λ),m2(λ),…,ms(λ)]。其 中 [m1(λ)，m2(λ)，ms(λ)]是m1(λ),m2(λ),…,ms(λ)的最高次项系数是1的最小公倍数。

证明因为，所以m(A1)=0,m(A2)=0,…,m(As)=0。 即 有m1(λ)|m(λ),m2(λ)|m(λ) ,…ms(λ)|m(λ)， 即 证m(λ) 是m1(λ),m2(λ) ,…ms(λ)的 最 小 公 倍 数 。 任 取m1(λ),m2(λ) ,…,ms(λ)的 一 个 公 倍 式h(λ) ，则此即h(λ)是A的零化多项式，故m(λ)|h(λ)。又因为m(λ)的最高次项系数为1，所以m(λ)=[m1(λ),m2(λ),…,ms(λ)]。

例2设求A最小多项式m(λ)。

解设其中

因为Jordan矩阵J1的最小多项式为(λ-1)2,Jordan矩阵J2的最小多项式为(λ-2)3，故由定理4可得A的最小多项式为m(λ)=(λ-1)2(λ-2)3。

最后讨论矩阵最小多项式的一种特殊求法。即通过讨论向量关于矩阵的最小多项式得到矩阵的最小多项式。

定义2使得c()A b=0的次数最低且最高次项系数为1的多项式c()λ称为向量b关于矩阵A的最小多项式。

定理6设n阶方阵A的秩为r,xr+1,xr+2,…,xn为齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，将xr+1,xr+2,…,xn扩充为Cn的一组基x1,x2,…,xr,xr+1,xr+2,…,xn,设c1(λ),c2(λ),…,cr(λ)分别为x1,x2,…,xr关于矩阵A的最小多项式，则c1(λ),c2(λ),…,cr(λ)与λ的最小公倍式g(λ)等于矩阵A的最小多项式m(λ)，即g(λ)=m(λ)。

证明由c1(λ),c2(λ),…,cr(λ)分别为x1,x2,…,xr关于矩阵A的最小多项式，可得c1(A)x1=0,c2(A)x2=0,…,cr(A)xr=0，又因xr+1,xr+2,…,xn为齐次方程组AX=0的基础解系，故Axr+1=0,Axr+2=0,…,Axn=0。而Cn中的任一向量b都能被x1,x2,…,xr,xr+1,xr+2,…,xn线性表示，从而g(A)b=0。其中式中的向量b是任意的，这意味着g(A)=0。则有m(λ)|g(λ),由已知条件，m(λ)是A的最小多项式，故对任意的向量b，都有m(A)b=0，又因为g(λ)是最小公倍式，从而g(λ)|m(λ), 可得g(λ)=m(λ)，定理得证。

例3求矩阵的最小多项式。

解齐次线性方程组AX=0的一个基础解系为x1=(0 .1，-1)T，添 加 上 向 量x2=(1 , 0,0)T，x3=(0 ,1,0)T，即构成向量空间C3的一组基。

下面来求向量x2=(1 , 0,0)T关于矩阵A的最小多项式,构造矩阵：

由向量的相关知识，可以得到x2,Ax2,A2x2线性无关，但x2,Ax2,A2x2,A3x2线性相关，且3Ax2-4A2x2+A3x2=0。即x2=(1 , 0,0)T关于矩阵A的最小多项式f2(λ) =3λ-4λ2+λ3，根据同样的方法可以算出x3=(0 ,1,0)T关于矩阵A的最小多项式f3(λ) =3λ-4λ2+λ3,所以矩阵A的最小多项式为：