Lebesgue测度的介值定理及其应用

路慧芹,路婕

(山东师范大学数学与统计学院， 山东 济南 250014)

1 引言

Lebesgue测度是建立Lebesgue积分的理论基础。 在实变函数教科书中, 均给出了Lebesgue测度具有的一般性质, 如非负性、单调性、可列可加性等。 作为对Lebesgue外测度性质的补充, 谢天夏等[1]研究了Lebesgue外测度可列可加性的充要条件，张天德等[2]给出了中有界集的Lebesgue外测度具有介值性质。 本文利用连续函数的介值性(参见文献[3-5])及Lebesgue测度的单调性(参见文献[6])，给出了RN中的任一可测集的Lebesgue测度均具有介值性质, 并把所得结果用来讨论Lebesgue积分的性质, 证明了积分绝对连续性的逆命题也是成立的。

2 主要结果

定理1 设E为R1中的可测集，0

证明因为E为R1中的可测集，故有E⊂(-∞,+∞)，定义函数

f(x)=m(E∩(-∞,x]),x∈(-∞,+∞)。

f(x2)=m(E∩(-∞,x2])≥m(E∩(-∞,x1])=f(x1),

且

f(x2)-f(x1) =m(E∩(-∞,x2])-m(E∩(-∞,x1])

=m((E∩(-∞,x1])∪(E∩(x1,x2])-m(E∩(-∞,x1])

≤m(E∩(-∞,x1])+m(E∩(x1,x2])-m(E∩(-∞,x1])

=m(E∩(x1,x2])≤m((x1,x2])=x2-x1，

于是，我们有

|f(x2)-f(x1)|≤|x2-x1|,∀x1,x2∈(-∞,+∞)。

因此，f(x)是(-∞,+∞)上的连续函数，由连续函数的介值定理知，存在x0∈(-∞,+∞),使得f(x0)=c.令E1=E∩(-∞,x0],则有mE1=c。

定理2 设E为R2中的可测集，0

证明(1) 首先，我们证明：∀ε>0,∃半开区间I⊂R2,s.t.m(E∩I)>mE-ε。

(2)其次， 我们证明：对R2中任意的半开区间I=(a1,b1]×(a2,b2],定义二元函数

f(x,y)=m(E∩((a1,x]×(a2,y])),(x,y)∈I，

则f(x,y)在I上连续。事实上，对任意的(x,y1)∈I，(x,y2)∈I,不妨设y1

f(x,y2)=m(E∩((a1,x]×(a2,y2]))≥m(E∩((a1,x]×(a2,y1]))=f(x,y1),

且

f(x,y2)-f(x,y1) =m(E∩((a1,x]×(a2,y2]))-m(E∩((a1,x]×(a2,y1]))

=m(E∩((a1,x]×(y1,y2]))

≤m((a1,x]×(y1,y2])

≤(b1-a1)(y2-y1)。

于是，我们有

|f(x,y2)-f(x,y1)|≤(b1-a1)|y2-y1|,∀(x,y1)∈I,(x,y2)∈I。

同理可证，|f(x2,y)-f(x1,y)|≤(b2-a2)|x2-x1|,∀(x1,y)∈I,(x2,y)∈I。

即，f(x,y)在I上对每一个变元都满足李氏条件。对任意的(x,y)∈I，(x0,y0)∈I,我们有

|f(x,y)-f(x0,y0)| ≤|f(x,y)-f(x,y0)|+|f(x,y0)-f(x0,y0)|

≤(b1-a1)|y-y0|+(b2-a2)|x-x0|,

由此易知，f(x,y)在I上连续。

注：类似于定理2的证明过程，我们可以证明，对于RN(N>2)上的可测点集E的Lebesgue测度同样具有类似于定理2的介值性定理。 于是我们有下述一般性结果。

定理3 (Lebesgue测度的介值定理) 设E为RN(N∈)中的可测集，0

3 应用

所以，f(x)在E上可积。