考虑耦合效应的高温高压气井井筒温压分布预测分析

石小磊 高德利 王宴滨

中国石油大学石油工程教育部重点实验室

随着油气勘探进程的不断发展，勘探工作重点逐渐转向西部及其他新探区，并对一些深层油气藏进行了钻探，而这类探井一般都属于深井或超深井。超深井具有高温高压以及钻遇地层复杂等特点，井身结构设计也较为复杂，给完井和测试作业带来很大挑战。因此清晰地了解井筒内温度、压力的分布，不仅可以为筛选合适性能的油管柱以及封隔器提供参考资料，而且对油气井日常生产管理和动态设计分析极其重要。在地层测试过程中，取得井筒压力、温度分布的方法有：（1）在井筒中布置一定数量的压力计和温度计；（2）仅实测井底或井口压力、温度，采用理论分析方法预测整个井筒的压力、温度分布［1］。就目前技术水平而言，由于高温高压井对测试设备及配套部件要求比较严格，因此使用温度计和压力计几乎很难对井筒温度、压力准确测量，故理论分析方法是预测井筒温度和压力的首选方法。

20世纪50年代，Cullender和 Smith［2］利用平均温度和偏差系数得到了稳定流动状态下管柱井底压力分布模型；Kirkpatrick［3］提出了自喷井井筒温度分布模型，并绘制了便于查询的温度梯度图版，利用该图版可快速查询注入口处的温度。Ramey［4］将单相不可压缩液体或单相理想气体的温度看作井深的函数，充分考虑了传热和导热，得到了井筒温度分布模型。Hasan和Kabir［5］提供了准确性较高的井筒温度分布的半解析解模型，极大地推动了井筒传热理论的发展。直到1994年，国内学者王弥康［6］利用稠油油藏热采工艺将传热分为井筒内稳态传热和地层内非稳态传热，并求解出了相应的数学模型。杨蔚、黄炜［7］将气体平均温度假定为常数，用视对比压力替换真实压力，推导出了一种新的关系式并给出解析解，可在计算机上编程实现，但该方法计算精度不高。毛伟和梁政［8］提出了直井井筒温度压力的耦合模型，但未考虑摩擦力对井筒温度的影响。郭春秋［9］针对高温高压气井提出了预测温度、压力、流速和密度的数值模型，可较为精确地对井筒温度、压力进行预测。

根据调研可知，前人对井筒温度压力分布研究基本上只考虑了单相流体的稳定流动，将温度或压力模型独立求解。笔者在综合前人研究成果的基础上，从动量守恒和能量守恒方程出发，考虑多相流体流动的影响，导出了描述流体稳定流动时的温度、压力耦合模型，通过四阶龙格-库塔方法进行数值求解，并利用四川某气田X井进行实例验证，结果表明该模型具有较高的精度，能满足工程要求。

1 模型的建立

温压耦合模型假设条件如下：

（1）流体在井筒中作稳定流动，同一截面上流体物性参数相同；

（2）井筒内到水泥环外界面为稳定传热，水泥环外界面到外部地层为非稳定传热；

（3）井筒和地层的传热只发生在径向上，可以将沿井深方向的热损失忽略；

（4）井筒周围地层温度均匀对称分布，并且服从线性变化规律。

取井底作为坐标原点，以油管轴线向上为正方向。在油管上取长为dx的微元体，θ为油管与水平方向的夹角，建立图1所示的坐标系。

图1 井筒微元体能量守恒示意图Fig. 1 Schematic conservation of energy of borehole microelement

动量守恒方程

能量守恒方程

式中，ρ为流体密度，kg/m3；v为流体流速，m/s；x为井深，m；p为压力，Pa；g为重力加速度，m/s2；θ为井斜角，°；f为摩阻系数，无量纲；d为油管内径，m；W为流体质量流量，kg/s；H为比焓，J/kg；Q为单位长度控制体单位时间内的热损失，J/（m·s）。

根据前人对比焓梯度［10］和热损失［11］的研究，这里引用方程式

式中，Cp为流体比定压热容，J/（kg·℃）；CJ为流体焦耳-汤姆逊系数，℃/Pa；rto为油管外径，m；Uto为总传热系数，J/（s·m2·℃）；Tf为井筒流体温度，℃；Te为地层温度，℃；f（t）为无因次时间函数；ke为地层导热系数，J/（s·m·℃）。

假设离井筒中心无穷远处的地层温度是井深的线性函数，设地温梯度为gT，井底处的地层温度是Tebh，则任意深度处的地层温度为

由式（1）、式（2）、式（3）和式（4）可得到压力、温度梯度的耦合数学模型

2 模型参数的确定

在进行温度和压力场求解时，需要针对其主要热物性参数进行深入分析，由于热物性参数在计算时十分复杂，本文结合前人的研究列出了其中4个最重要的热物性参数的计算公式。

2.1 无因次时间函数

由于无因次时间函数的求解过程非常复杂，并且浪费时间，一般采用Ramey所推导的近似公式［4］

式中，tn为无因次时间，无量纲；t为生产时间，s；αt为地层热扩散系数，m2/s；rh为井眼半径，m。

2.2 比定压热容Cp和焦耳-汤姆逊系数CJ

在开采过程中测试管柱内可能会存在气液两相同时流动的状况。区别于单相流的处理方法，考虑其自身的流动复杂性，井筒内流体的混合比热容可以表示为［12］

井筒内流体的混合焦耳-汤姆逊系数可以表示为

式中，Cpg为气相比定压热容，J/（kg·℃）；Cpl为液相比定压热容，J/（kg·℃）；Wg为气相质量流量，kg/s；W1为液相质量流量，kg/s；CJg为气相焦耳-汤姆逊系数，℃/Pa；CJ1为液相焦耳-汤姆逊系数，℃/Pa。

计算气相焦耳-汤姆逊系数CJg和液相焦耳-汤姆逊系数CJ1的方法见参考文献［13］。

2.3 总传热系数

总传热系数Uto是式（4）计算的关键，由于井筒内流体和管壁之间的传热系数非常大，可以忽略不计。油管和套管的导热系数远大于水泥环和地层的导热系数，油管和套管造成的温度损失也是可以忽略的，所以可以采用工程上常用的简化方程式［5］

式中，rco为套管外径，m；hc为环空流体对流传热系数，J/（s·m2·℃）；hr为环空流体辐射传热系数，J/（s·m2·℃）；kcem为水泥环导热系数，J/（s·m·℃）。

3 模型求解

式（6）为压力和温度的梯度方程组，已知井底x0截面处的流体温度T0和压力p0构成此方程组的初始条件，若欲求其两个未知量温度T和压力p，相应的梯度方程的右函数记为Fi（i=1，2），则方程组（6）可表示为

将起点位置的初始值（x0，T0，p0）和新定义的函数Fi重新联立方程组，对于这类常微分方程组的初值问题可利用计算精度较高的四阶龙格-库塔法进行数值求解，取步长为h，节点x1=x0+h的函数值T1和p1可表示为

其中

若x1未达到预计深度，再将新的节点和上一个节点的计算值（x1，p1，T1）作为下步计算的初始值重复上述步骤，如此连续递推运算直到预计深度。井筒温度场压力场耦合计算流程如图2所示。

图2 井筒温度场压力场计算流程图Fig. 2 Calculation flowchart of borehole temperature and pressure fields

4 算例分析

四川某气田X井，完钻井深4 500 m，地温梯度0.019 ℃/m，井底地层温度123.4 ℃，井底压力为57.3 MPa，环空对流传热系数1.96 J/（s·m2·℃），环空辐射传热系数34.28 J/（s·m2·℃），水泥环导热系数0.62 J/（s·m·℃），地层导热系数2.122 J/（s·m·℃），地层热扩散系数1.21×10-6m2/s，产气量50×104m3/d，产水量为 5 m3/d，油密度 800 kg/m3，水密度 1 039 kg/m3，天然气相对密度0.68，气体比热容为3 000 J/（kg·℃），水比热容为4 221 J/（kg·℃）。油管外径为88.9 mm，油管内径为76 mm，套管外径为177.8 mm，井眼直径为215.9 mm。

根据X井基础数据，应用耦合模型对井筒温度压力在不同产量、不同气体相对密度、不同生产时间条件下的分布进行了敏感性分析，并对比分析了预测结果与线性模型的差异。

由图3和图4可见，其他参数恒定时，产量增大使流体受到更大的摩擦阻力，克服阻力需要做更多的功，从而使井筒中的压力减少；而温度沿井深呈非线性变化，同时产量增大，沿井筒分布的温度剖面也呈增大趋势［14］，这是由于产量增加，流速变大，流体与周围环境进行的热交换损失变小导致。

图3 产量与井筒压力分布剖面图Fig. 3 Production rate and borehole pressure distribution section

图4 产量与井筒温度分布剖面图Fig. 4 Production rate and borehole temperature distribution section

由图5和图6可见，井筒压力分布与气体相对密度成反比关系，即随着气体相对密度的增大压力大幅度减小，这是由于气体相对密度增大，压降梯度变化越明显，压力损失增加导致；而当气体产量和生产时间等参数恒定时，气体密度越高，井筒温度越高，这主要是由于气体密度增大，井筒内流体的热流当量随即也增大，热损失减少，因此温度剖面向水平轴正方向偏移。

图5 气体相对密度与井筒压力分布剖面图Fig. 5 Relative gas density and borehole pressure distribution section

图6 气体相对密度与井筒温度分布剖面图Fig. 6 Relative gas density and borehole temperature distribution section

由图7和图8可见，随着时间的延长，在井底压力不变化的情况下，考虑耦合效应的模型预测的压力变化不大；而温度相对升高，这是由于时间变化关系到无因次时间函数的大小，最终影响到井筒温度的分布。

图7 生产时间与井筒压力分布剖面图Fig. 7 Production time and borehole pressure distribution section

由图9和图10可见，在所有计算参数相同的情况下，耦合模型下井筒内的压力和线性模型的压力几乎相同；而温度呈现出不同的变化趋势，耦合模型的温度梯度先小后大，这进一步证实了井筒温度并非沿井深一阶线性变化，如果纯粹的视井筒温度按线性变化的话，在油气井动态预测时，若井筒内流体热物性参数与温度关系密切，则有可能造成一定的误差，并且随着产量的增加，流速变大，井筒内流体热交换损失减小，误差也会相应的增大。

图8 生产时间与井筒温度分布剖面图Fig. 8 Production time and borehole temperature distribution section

图9 耦合模型与线性模型压力分布对比图Fig. 9 Pressure distribution comparison between coupling model and linear model

图10 耦合模型与线性模型温度分布对比图Fig. 10 Temperature distribution comparison between coupling model and linear model

5 结论与建议

（1）依据动量、能量守恒定律和流体力学基本原理，建立了考虑耦合效应的高温高压气井测试温压分布定量分析模型，利用四阶龙格-库塔方法得到的运算结果可较为准确地预测井筒中的温度和压力分布。

（2）敏感性分析结果表明：随着产量的增加，井筒内流体的摩阻增大，流速增大，井筒内压力下降，温度升高；随着气体相对密度的增大，压力梯度增大，热损失减少，井筒内压力下降，温度升高；随着生产时间的增加，由于无因次函数与时间变化有关，井筒内压力保持不变，温度升高。该模型的分析结果可为测试管柱的下入及井下开采提供理论依据。

（3）通过对比分析可知，井筒流体流动的温度沿井深呈非线性分布，如果在求解过程中将其考虑按线性规律分布，将会使计算结果与实际情况有较大出入，因此在实际生产过程中，需考虑影响井筒温度分布的因素以及温度和压力之间的相互影响。