开启数学阅读的智慧之窗——有感于张景中的科普读物

王鹏远

阅读是当前语文教学的弱项，更是数学教学的短板。语文教学起码还离不开教科书，对于数学教学而言，教科书几乎都变得无足轻重了。大多数学生并没有认真阅读教科书的习惯，他们把教科书仅仅视为可从中找到教师布置作业的一本习题册。教科书不是读不明白，就是对由数学符号、公式、定理呈现的课文感到枯燥，读起来没有味道，没什么好读的。当前市面上流行的教辅材料大多也是应对考试的变相习题册加上一些对知识点的生硬解读（如一课一练、同步辅导），同样没有多少可读性，因此学生的数学课外阅读也多限于解题。数学教学在很大程度上沦为单纯的解题训练了。学生的课内外数学阅读严重不足，这不利于学生深刻理解生动的数学思想，也不利于学生在学科学习方面的进一步发展。

解决学生阅读的首要任务是为学生提供适于阅读的教材，数学由于其学科特点在这方面遇到的困难更大。要想把被多数人认为抽象难懂的数学变为有趣的、容易理解的学问，既要突出科学性，又要具有可读性，这真是一门艺术，实现起来难度很大。要高屋建瓴，又要深入浅出，还需要发挥高超的语言感染力。数学教材的建设很大程度上考验着作者的功底，需要数学大家的参与。前一段时间张景中主持编写的高中数学“湘教版”教材，在这方面做了一些突破，受到广泛好评，还被引入台湾地区，但由于种种原因却没有在大陆进一步推广。于是我们设想，既然建设满意的教材有待时日，何不从学生的数学课外阅读打开缺口呢？既然语文教学为学生的阅读开列了那么一长串书单，那么数学教学现在也可以为学生推荐一些书目，打开学生数学阅读的智慧之窗。

图1 《院士数学讲座专辑·中国科普名家名作（典藏版）》（中国少年儿童出版社，2011年7月）

其实，在这方面的科普读物已经不少，其中一些是数学大家亲自撰写的，光是张景中写的就有《数学家的眼光》《漫话数学》《数学哲学》《计算机怎样解几何题》《不用极限的微积分》《从谈起》《面积关系帮你解题》《帮你学数学》《一线串通的初等数学》……当然除了张景中的科普著作外还有其他一些优秀的读物。我们设想何不把这些现成的资源作为学生的课外阅读材料，补充和延伸到当前的数学教学，满足不同学生和家长的多方面需求呢？

通过阅读体味数学的趣味性

科普作品的一大特点是生动有趣，能够抓住学生的眼球，这是吸引学生数学阅读的前提条件。2002年在北京举行的国际数学家大会期间，当时91岁高龄的数学家陈省身先生为少年儿童题词，写下了“数学好玩”四个大字。这实际上是在呼吁要大力培养少年儿童的数学兴趣。少年儿童是一个人成长的关键期，在这个时期培养什么兴趣对其终生发展影响深远。国际知名的数学家丘成桐在一次演讲中说：“对于孩子们来说，学到多少知识并不是最重要的，兴趣的培养，才是决定其终身事业的关键。”兴趣是学生学好数学的内驱力，激发兴趣是打开成功的数学教育的大门。

问题是如何激发学生对数学的兴趣？回味科普作品的创作应该给我们不少有益的启示。数学真的好玩吗？多数学生对数学的感觉恰好相反：数学枯燥、数学难学，甚至可憎。众所周知，抽象和严谨是数学的特点，这也是许多学生感到数学困难而疏远它的原因。成功的数学教学不是要避开抽象和严谨，而是要艺术地、巧妙地处理抽象和严谨。有的课堂把本来容易的数学讲难了，而成功的课堂却把数学变得容易且妙趣横生。

我们在张景中的作品中读出了数学的韵味。生动通俗的语言，引人深思的发问，贴近孩子生活的奇妙例子，不乏几分幽默的数学“故事”，凸显出数学本来“好玩”的真面孔。

以下看几个例子。

“运算的规律”，这是《漫话数学》一书中的第三章。运算是数学学习的重要内容，也容易让学生感到枯燥。但作者将这一内容言简意赅地娓娓道来，仅用两页半的篇幅就对运算规律进行了高度精炼的概括，读来兴趣盎然。

该章有四个小标题：“什么是运算”“为什么-(-a)=a”“能交换与不能交换”“代数运算的三个级别”。虽然学生从小学一年级就开始学习运算，日常生活也离不开运算，但到底“什么是运算”却一下把人们问蒙了。-(-a)=a，学生都知道，但许多学生却回答不出其中的道理。“好”的问题可以启发思考，但课堂上，虽然教师提问的问题不少，却往往问不到“点”上。

再看第三个标题“能交换与不能交换”的行文：

生活中有很多事，先后顺序是不能交换的。你不能先把扣子扣好，再穿衣服。语言文字，有顺序可交换的，但意义可能变了。“屡战屡败”的将军是草包，而“屡败屡战”却多少表现出坚持战斗的勇气。

“先扣扣子再穿衣服”有几分好笑，谁能这样穿衣服呢！“屡战屡败”的文字一颠倒，就表达了完全相反的意思。这里没有讲数学，而是用诙谐的语言道出了朴素的道理。

作者接着写道：

就在数学里，不能交换的地方也很多。你不能把35写成53，把100写成001，不能把2^3写成3^2，不能把2+3×5当成3+2×5.

把35写成53，把100写成001，一般的人谁都不会犯这样的错误，但学生在初学时犯后两个错误的却大有人在。

接下来话题转到物理：

物理运动，有的能交换，有的不能交换。“向东走10米，再向南走5米”，其结果和“向南走5米，再向东走10米”是一样的。“向左转，再向后转”和“向后转，再向左转”也是一样的。“向左转，再向前5步走”和“向前5步走，在向左转”却大不相同。

理解这段话需稍思考，但通过日常生活的经验也能理解“能交换与不能交换”。最后作者要说的重要的一点是“能不能交换顺序，运算时应当时时留心”。

也许课堂上教师谆谆叮嘱学生的也是最后这句话，但直说显得有些干巴生硬。可作者在这里却深入浅出略带几分幽默，讲得好玩、有趣，给学生留下深刻的印象。接下来再看“代数运算的三个级别”就顺理成章了。引导学生进行这样的课外阅读不是很有意思吗！

我们知道，问题是发展数学的源泉，教学中常常需要考虑如何创设问题情境。让我们看看张景中是怎样做的。以下是他《从谈起》的片段：

在1和2之间，分数多得很，要多少有多少，而且密密麻麻地挤在一起，那么，其中有没有这样一个分数，它自乘以后恰巧等于2呢？看来似乎应当有。真的有吗？那你找几个试试看，你一定找不到——不是太大，就是太小。尽管能找到平方很接近2的分数，但是要恰巧等于2，是不可能的。

也许你会说，1和2 之间既然有无穷多个分数，那就不可能一个一个地试，又怎能断定没有一个分数，它的平方等于2呢？

这个问题，早在2000多年前就解决了。请看：

（下略）

这里张景中创设了一个悬念：“在1和2之间，分数多得很，要多少有多少，而且密密麻麻地挤在一起，那么，其中有没有这样一个分数，它自乘以后恰巧等于2呢？看来似乎应当有。”“密密麻麻挤在一起”多么形象！既然有那么多要多少有多少的有理数挤在一起，总该有一个分数自乘之后等于2了。这一想法正好符合学生的思维心理。接着作者话锋一转，设置了疑问：真的有吗？此时作者给学生出主意：找几个试试看！可是又遇到问题了：1和2之间有无穷多个数，一个个地试，试得过来吗！怎么办？在勾起了学生的好奇，急于求得问题的解决时，作者才适时地给出了证明，给出的恰到火候！看来解读数学有时也需要像张景中那样设置一些“包袱”。

在此之后，张景中又讲述了历史上发现这个事实的年轻人希帕苏斯为坚持真理被抛入大海的故事，以及与此有关的数学文化。这样对的解读就很有趣了，阅读这一段文字不是一种享受吗？如果我们的课堂能吸取张景中的做法，又会有多少学生不喜欢数学呢！

通过阅读与大师交流数学思想

北京大学原校长、数学家、数学教育家丁石孙教授在《数学与教育》一书“数学与人类思维”一章中写道：

作为既是一门高度抽象的理论性学科，又是一门应用广泛的工具学科，数学在培养人的思维方面，也具有其他学科无法替代的功能。

数学的发展，主要是数学思想的发展，美国数学史家M.克莱因将其数学史名著取名为《古今数学思想》。

丁石孙接着说，要使数学教育真正发挥思维训练的作用，首先要求数学教师自觉意识到数学的这种功能，并能充分理解数学中蕴含的思想。一批在数学最前沿工作的数学家，热衷于数学教育，利用各种各样的途径和方法直接参与中小学的数学教学。他们从自己形成的对数学的独特感受，从自己受数学影响而产生的思想出发，直接把活生生的思想注入教育之中，这是我们应该重视的不可多得的宝贵资源。一般的数学教师向学生传授的多是知识和技巧，而数学大师们给予学生的则是思想。读到这里，自然想到了张景中。

张景中《数学家的眼光》一书，传达的正是这种思想。阅读他的科普作品，犹如直接与大师交流。在轻松的环境下自主学习，能够细细品味、吃透大师的数学思想，这是与课堂听讲完全不同的感受。课堂听讲往往是被动学习，教师关注知识点的理解和解题技巧，有时学生的思维节奏难与教师的讲授同步，可能一些问题还没来得及消化，教师已一语带过，有的问题早已想清楚，教师却还在不厌其烦地讲解。自主学习的数学阅读可以有更多的自主权，不仅提高了学生自主学习的能力，还可以更深刻地感悟生动的数学思想。

下面我们欣赏《数学家的眼光》中“变化与不变”的一个片段：

哥哥长一岁，弟弟也长一岁。两个人的年龄都变了，但年龄的差没有变。去年哥哥比弟弟大3岁，今年还是大3岁。

把一张椅子从屋里搬到院子里，椅子的位置变了，但大小没有变。它还是那么高、那么宽。方的还是方的，圆的还是圆的。

照相机把万里河山的壮丽景色摄于小小的底片上，显微镜把细菌的奥秘呈现于眼底。大的可以变小，小的可以变大。在这类变化之中大小变了，模样儿大体没有变。

以上所谈论的事都在我们身边发生，谁都明白，但没有多想。数学家举这么多似乎与数学不沾边的事例究竟要说什么？且看张景中下面的叙述：

大千世界，到处都在发生着或明显或隐蔽的运动与变化。迅速的变化令人目眩神迷，缓慢的变化使人不知不觉。但是，正像前面的例子那样，在变化的过程中，常常有相对不变的东西。

数学家的眼光，常常盯住变化中不变的东西，正是这些不变的东西，把变化中的不同镜头联系起来，帮助我们认识变化过程的本质，帮助我们解决各种问题。

到底是数学家的眼光尖锐，一下抓住了这些事物的共同点，也就是事物的本质。这样精彩的、高屋建瓴的总结概括是课堂上不多见的。

这一思想可以帮助我们解决什么问题呢？作者接着谈到小学生解应用题时关键是抓住不变量，中学生解方程在变形时方程的解并没有变，这是移项的根据。平面几何中，图形经过旋转、平移、反射，两点的距离没有变。按比例放大、缩小的时候角度没有变。利用图形在变化过程中的不变性质，常常可以找到奇妙的解题窍门。为了说明问题，作者又举了用此思想解决的三个漂亮的例题。最后他写道：

变换，是数学家手里的一大利器。看清楚哪些东西是在变化中不变的，数学家就能得心应手地用变换的办法解决问题。

一个看似普通的标题“变化与不变”引出闪光的数学思想方法，从那些具体的、耳熟能详的例子中提炼出生动活泼的数学思想方法，不是空洞的说教，而是深入人心地带着你一步步的思考，从具体到抽象再回到具体，从特殊到一般再到特殊，数学就是这样发展的，这样的阅读给人的印象深刻。

限于篇幅，这里不举更多的例子了。不过可以说，《数学家的眼光》中篇篇都是美文，渗透着数学家闪光的数学思想。

通过阅读培养创新意识

创新驱动，已经成为人工智能时代的国家发展战略。在《基础数学课程标准（2011年版）》中，创新意识是新增加的一个核心概念。标准指出：“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。”

阅读张景中的科普作品可以感悟到一个个完整的创新过程，有利于创新意识的培养。

首先是激发孩子的好奇心。好奇心是创造性人才的重要特征，爱因斯坦认为他之所以成功，原因在于他有狂热的好奇心。如果没有好奇心和求知欲为动力，就不可能产生有价值的创造。

张景中科普作品的一个特点是通过一次次地提出问题创设悬念，激发学生的好奇心。

例如，“一个小孩为什么能拉住一头牛？”光是这个题目就足以钓起学生阅读的兴趣。再如，“地下高速列车从上海挖一条笔直的地道直通乌鲁木齐，乘坐在这条地道开通的高速列车，借助地心引力，多长时间可从上海到达乌鲁木齐？”看来，这倒是个节能的奇思妙想，能实现吗？如果真能从北京开通一条直达纽约的地道，情况又如何呢？

其次是问题意识和独立思考。问题是数学发展的源泉，也是创新的基础，张景中的科普作品都是从一系列问题出发，引起活跃的数学思考，归纳概括出猜想和规律，并进行验证。在《数学哲学》一书的每章后面，作者还给出思考和讨论的题目。在某种意义上，阅读张景中的科普是一次感悟和体验创新的过程。

张景中的作品不少属于原创，这和他的科研是密不可分的。他的一些原创，基于强烈的迎难而上的问题意识和大胆的求异思维。

例如，“平面几何新路”“面积关系帮你解题”，这都与他在几何教学上的创新有关。

还是在1974年4月，张景中走上新疆建设兵团21团子女中学初二年级讲台，讲平面几何。在教学中，他痛感传统的几何解题方法过于依赖技巧，难以为学生掌握，开始探索新的更有效的方法。他很快发现，用面积关系解几何题目非常有效，并且容易掌握。他对这种技巧作了深入的研究，把它从特殊技巧初步发展成一般方法。面积法引出了教育数学的研究，并导致十八年后几何定理可读证明自动生成新方法的出现。

谈到“计算机怎样解几何题”，这又与他在机器证明的开创性工作有关。

1979年张景中到中国科学技术大学，从《中国科学》上看到了吴文俊提出几何定理机器证明新方法的论文。这一突破性工作对他有莫大的吸引力，他就开始向这一方向学习、思考、创造。

在几何定理机器证明的吴方法取得公认的成功后，这一领域面临两个有待突破的难题：一个是几何不等式的机器证明问题，另一个是如何让机器生成易于理解和检验证明的问题。张景中特别关注的是后一问题，即可读证明的自动生成问题。

直到1992年年初，所有有效的几何定理机器证明的方法都只能判定命题是否成立，而不能给出通常意义下的证明，即人在合理的时间内能看明白，能检验其正确性的证明。在一些著名的科学家看来，让计算机用统一的方法对千变万化的几何命题给出通常意义下的证明是不可能的。但是，如果不突破这一关，几何定理机器证明就难以在教育中发挥作用，难以得到大众的理解，难以在人类文化的发展中扮演更重要的角色。张景中迎难而上，在1992年提出了在面积方法的基础上，探索几何定理可读证明自动生成的新途径。经过一个个不眠之夜，从面积方法解题的大量经验中提炼出对这一要害问题的回答：“消点”，解决了几何定理证明的可视化难题，后来还发展出用于中学教学的工具软件“超级画板”。

谈到“不用极限的微积分”，这又与他研究的第三代微积分有关。1979年张景中在中国科学技术大学任讲师，教数学系少年班的微积分。为了克服微分学入门的难点，提出了非ε语言的极限定义方法，以及连续归纳法，即所谓的第三代微积分。

大家知道，微积分源于牛顿和莱布尼茨，那时开创的微积分有用，但并不严谨，一些道理说不清楚，这是所谓的第一代微积分。为了克服理论的缺陷，柯西等数学家奠定了微积分基于极限的坚实的理论基础，这下微积分倒是严谨了，但是却很难懂，这就是所谓的第二代微积分。张景中和林群创设的第三代微积分力图克服前两代微积分的缺点，使之变得既说得明白，又容易接受。这就是《不用极限的微积分》这本书的背景。

应该说张景中以上的创新都源于数学教育，且服务于数学教育。因此学习张景中的这些著作不仅可以领略他的创新思路，还能把这些创新成果用于教学实践。

值得一提的是《一线串通的初等数学》一书，这是张景中对改造中学数学的大胆建议。他把三角经过改造提前引入初一，用三角带动几何，串联代数，用知识的纵横联系驱动学生的思考，促进其学习兴趣与数学素质的提高。这是一次基础数学教育的创新，已在一些学校实验并取得良好的效果。

这样看来，张景中的以上科普作品不仅是学生的良师益友，也是促进教师提高业务水平、深化教学改革的首选读物。

张景中的科普作品是个宝库，让我们充分利用以开启数学阅读的智慧之窗。

阅读是一切学科最重要的基础。突出阅读是当前全国教育改革的最新动向，这一变革是颠覆性的。今后学生光阅读教材是远远不够的，还需大量阅读课外读物。“核心素养版”高中语文新课标附录《关于课内外读物的建议》提到，“高中阶段要求学生在课内外加强阅读，培养阅读的兴趣和习惯，提高阅读品位，掌握阅读方法，提高阅读能力，让学生在阅读中拓宽视野，领略人类社会气象与文化”。该附录还列举了文化经典类、现代诗歌、小说、散文、剧本、文学理论六个方面的几十本书目。由此可见语文教学改革力度之大。需要关注的是，突出阅读不仅关系到语文教改，也关系到所有学科。所有学科都要考验学生的阅读水平，数学当然也不例外。实践表明，一些学生对解应用题，对近年来中、高考的阅读题感到困难，其实都是阅读能力不足所致，这制约着学生的数学学习。

我们呼吁加强这类科普作品的宣传、组织和引导。科普绝不能忽略“普”字，要大面积普及，没有普及，“科”只能孤芳自赏了。我们期望科普读物为尽快提高广大中学生的数学阅读能力做出贡献。