浅谈极值点偏移问题中构造函数的两种方法

（江苏省南通中学 江苏南通 226000）

一、构造差函数

例1.（2014江苏南通二模第20题）设函数f(x)=ex-ax+a(a∈R)，其图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，且x1＜x2.

第一问的答案为a＞e2.

因为f(x)的导函数f′(x)=ex-a，所以x2＞lna，f(1) ＞0，所以x1＞1，则有当a=e3时，③式不满足，所以这条路无法走下去.

那么这道题是不是无解呢，显然不是，我们可以从另外一个角度来思考，利用①式和②式相减：

设g(s)= 2s-(es-e-s)，则g′(s)=2-(es+e-s)＜0，所以g(s)是单调减函数。

这个方法未免过于讨巧了些，那我们能不能找一些更具有普适性的方法呢？

我们都知道，在做极值点偏移的题目时，有一个常规的做法，就是构造形如g(x) =f(x+c)-f(x-c)的式子（c为极值点的横坐标）

g(x) =a(ex-e-x-2x)

∴f(x1) =f(x2) =f[ lna-(x2-lna) ] ＞f[ l na-(x2-lna) ] =f(2lna-x2)因为f(x)在(0 ,ln )单调减，

主元法构造也属于构造差函数的一种.本题也可构造g(x) =f(x) -f(2lna-x)(x＜ lna)，具体解法与上相同，不再赘述了.

二、齐次化构造

例2.（2017届湖北省第一次八校联考理科21题）已知函数f(x) = l n(x+ 2a) -ax，a＞0.

这种思路在思考是不容易将式子变形到我们所能够进行求导处理的函数形式，所以我们可以选择在思维难度方面要求更低的齐次化构造.

所以，h(t)在(1,+∞)上单调递增，h(t) ＞h(1) = 0，

我们在解答有关极值点偏移的问题时，构造函数能为我们省下不少时间和精力，但是依旧存有一些疑惑，在进行构造的时候该怎样选取构造方式？如例1，在使用齐次化构造的时候会遇到比较难办的构造差函数则相对比较容易破解，而在例2中，齐次化构造相对于构造差函数又降低了思维难度困难， 怎样快速选取构造函数的方法还希望能和大家一起讨论交流.