运用高数解高考题常见的几大误区
2018-12-17朱小扣蓝云波
朱小扣 蓝云波
摘 要：导数是高中数学的重要内容和考点，由于导数题的综合度高，命题灵活，运用高等数学知识去解导数题成为很多考生选择的方法但运用高等数学必须且行且谨慎，使用时不可盲目本文举例分析几类常见误区.
关键词：高考；导数；高数；误区
作者簡介：朱小扣 （1986-），男，安徽无为人，本科，中学一级教师，研究方向：中学数学教学研究.
蓝云波（1981-） ，男，广东省兴宁人，本科，中学一级教师，研究方向：中学数学教学研究.
一、知识点梳理
1两个常用的放缩不等式
（1）指数放缩：ex≥x+1，x∈R，当且仅当x=0时等号成立；
（2）对数放缩：lnx≤x-1，x∈（0，+∞），当且仅当x=1时等号成立.
2洛必达法则
设函数f（x）和g（x）在点a的某个去心邻域内有定义且可导，且满足：g′（x）≠0，limx→af（x）=0，limx→ag（x）=0，则有limx→af（x）g（x）=limx→af ′（x）g′（x）=A（其中A为常数，或为∞）
（注：当 limx→af（x）=∞且limx→ag（x）=∞时，洛必达法则仍然成立）
3拉格朗日中值定理
若f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）上可导，则存在ξ∈（a，b），使f ′（ξ）=f（b）-f（a）b-a.
4罗尔定理
如果函数 f（x）满足以下条件：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间 （a，b）内可导；（3）f（a）=f（b），则至少存在一个ξ∈（a，b），使得f ′（ξ）=0.
二、误区揭示
1常用不等式放缩的运用误区
例1 （2010年湖北卷理21题）已知函数f（x）=ax+1x+c（a>0）的图像在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1.
（1）用a表示出b，c；
（2）若f（x）≥lnx在1，+∞上恒成立，求a的取值范围.
错解 （1）b=a-1，c=1-2a.
（2）由题意可知，a≥xlnx-x+1（x-1）2（x>1），而xlnx-x+1（x-1）2 故a≥1. 错解分析 直接利用lnx 正解 （1）b=a-1，c=1-2a. （2）由题意可知，a≥xlnx-x+1（x-1）2（x>1）. 由limx→1xlnx-x+1（x-1）2=limx→1lnx2（x-1）=limx→11x2=12. 故可猜测当x>1时，xlnx-x+1（x-1）2<12. 只需证当x>1时，12（x-1）2-xlnx+x-1>0. 令h（x）=12（x-1）2-xlnx+x-1（x>1）， 则h′（x）=（x-1）-lnx>0所以h（x）在x∈（1，+∞）单调递增，即h（x）>h（1）=0. 故当x>1时，xlnx-x+1（x-1）2<12恒成立，故a≥12. 2拉格朗日中值定理运用的误区 例2 （2014年陕西卷文21题）设f（x）=lnx+mx（m∈R）. （1），（2）题略； （3）若对任意的b>a>0，f（b）-f（a）b-a<1恒成立，求m的范围. 错解 由拉格朗日中指定理可得：x∈（a，b），使得f ′（x）=f（b）-f（a）b-a. 故f ′（x）<1在（0，+∞）上恒成立，所以1x-mx2<1（x>0）. m>-x2+x=-x-122+14故m>14. 错解分析 忽略了极限的保号性，导致错误，极限的保号性：当x>0时，1x>0 但limx→+∞1x=0，也即极限不仅可以大于0，有时也可以取等号. 正解 由拉格朗日中指定理可得：x∈（a，b），使得f ′（x）=f（b）-f（a）b-a可以验证并由保号性得到：f ′（x）≤1在（0，+∞）上恒成立 所以1x-mx2≤1（x>0）. 所以m≥-x2+x=-x-122+14 故m≥14. 3罗尔定理的运用误区 例3 （2014年四川卷理21题）已知函数f（x）=ex-a·x2-b·x-1，其中a，b∈R，e=271828…为自然对数的底数. （1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间0，1上的最小值； （2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围. 错解 （2）因为f（x）=ex-ax2-bx-1， 所以g（x）=f ′（x）=ex-2ax-b又g′（x）=ex-2a，由f（1）=0，可知e-a-b-1=0，所以b=e-a-1. 设x0是f（x）的零点且x0∈（0，1），则f（0）=f（x0）=f（1）=0，两次运用罗尔定理得： x1∈（0，x0），f ′（x1）=0，x2∈（x0，1），f ′（x2）=0， 所以f ′（x）=0在（0，1）上有两个不同的解. 所以f ′′（x）=0在（0，1）上有解. 即g′（x）=0在（0，1）上有解. 所以g′（0）g′（1）<0所以（1-2a）（e-2a）<0解得12
综上，a的取值范围为（12，e2）.
错解分析 过多地运用了罗尔定理（两次），使得变量的范围改变（扩大或缩小），化归方法不当，罗尔定理只能用一次.
正解 （2）因为f（x）=ex-ax2-bx-1 ，所以g（x）=f ′（x）=ex-2ax-b又g′（x）=ex-2a.
由f（1）=0，所以e-a-b-1=0，即b=e-a-1.
设x0是f（x）的零点且x0∈（0，1），则f（0）=f（x0）=f（1）=0，由罗尔定理得：
x1∈（0，x0），f ′（x1）=0，x2∈（x0，1），f ′（x2）=0，
所以f ′（x）=0在（0，1）上有两个不同的解.
即g（x）=0在（0，1）上有两个不同解.
易知当a≤12或a≥e2时，函数g（x）即f ′（x）在区间[0，1]上单调，则f ′（x）=0在（0，1）上不可能有两个不同的解.
若12 令h（x）=32x-xlnx-e-1（1 则h′（x）=12-lnx. 由h′（x）=12-lnx>0，解得x 所以h（x）在区间（1，e）上单调递增，在区间（e，e）上单调递减. 所以hmax（x）=h（e）=32e-elne-e-1=e-e-1<0即gmin（x）<0恒成立. 于是，函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以g（0）=2-e+a>0，g（1）=-a+1>0，解得a>e-2，a<1 又12 綜上，a的取值范围为（e-2，1）. 总结 以上列举了运用高数解高考题常见的几大误区，除此之外还有诸如：增函数f ′（x）≥0成立，反之不成立极值是导数为0的关系是既不充分也不必要条件等.总之，数学的学习就是一个去伪存真的过程正如数学家波利亚说过：“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素，发现的方法就是试错的方法”学习数学的真谛不是对与错，而是能灵活运用（文2）. 参考文献： [1]蓝云波，朱小扣活跃在竞赛中的导数问题[J]数学通讯，2017（09）. [2]朱小扣探究高中数学命题的原则[J]中学数学研究，2017（11）.
