方程的根与函数的零点教学设计

荆佩

摘要：随着新课标的不断发展和深化，高考对学生综合素质的考察越来越重视，一些高等数学的概念也逐渐融入到高中数学课程中，而方程的根与函数的零点问题便是其中之一.本文采用函数与方程、转化与化归和数形结合的数学思想详细阐述了解决函数零点分布、零点个数和两个函数交点的问题.

关键词：方程；函数；教学设计

学科年级：高一数学， 教材版本：人教A版

教学内容

本节课将从方程的根与函数图像与x轴交点的横坐标的关系，导出函数零点的概念；以及求函数零点的两种方法：代数法和几何法。以实例存在零点的特点，探究在某区间上图像连续的函数存在零点的判定方法；体现了从具体到一般的认知过程，培养概括归纳的能力。

教学过程

一、练习

练习1.求下列方程的根

练习2.画出相应函数的图像

问题1.通过观察分析上面的两个练习，你能概括方程的根与函数图像与 轴交点横坐标有何联系？教师组织学生独立思考完成练习，分小组检查讨论所提出的问题。并派出一个代表回答问题。 从方程的角度叫根，从图像的角度叫横坐标，从函数的角度它应叫什么呢？

二、给出函数零点的定义

三、你能快速回答练习2函数的零点吗？引出函数零点需要注意的三点：第一点，函数的零点是实数并不是点。第二点，并不是所有的函数都有零点。第三点，若函数有零点则零点一定在函数的定义域内。学生思考，并指定学生回答。

通过上面的学习知道方程的根，图像与 轴的交点与函数的零点三者之间是等价的。

问题2：总结求函数零点的方法？学生思考讨论得出结论：一，代数法。二，几何法。

四、练习3

（1）

（2） 在应用的过程中进一步理解和掌握求函数零点的方法， 学生独立思考，并让学生简单说明解答的过程。

五、问题3：已知直线 ，两点A、B且A、B分别在 的异侧，问A到达B与 一定相交吗？接下来我们探究函数在闭区间上零点的存在性， 进一步引导学生也就是说如果 轴上方和下方分别有一个点A、B，过A和B的连续函数图像与 轴一定相交。

六、给出闭区间的函数零点存在定理， 引导学生探索归纳总结用数学语言描述函数零点存在定理，培养学生的归纳总结能力和逻辑思维能力， 回归练习2的图像并且限定 的范围

分析函数在区间端点上函数值的符号情况，与函数的零点是否存在着一定关系。

七、结合练习2函数的图像，回答以下问题

探究1：如果一个连续函数 滿足 ，那么函数 内一定存在唯一的零点吗？

探究2：如果一个连续函数 满足 ，那么函数 内满足什么条件存在唯一的零点呢？

探究3：如果一个连续函数 不满足 ，那么函数 内一定不存在零点吗？

探究4：如果一个连续函数 存在零点，那么函数 内一定有 吗？

探究5：如果函数 上的图像不是一条连续不断的曲线，那么函数 内有零点一定有 吗？

启发学生思考，激发学生学习兴趣，归纳函数零点存在性定理的两个条件。

小结归纳，知识升华

让学生在小结中明确本节课的学习内容，强化本节课的学习重点，并为后续学习打下基础。所以在这一部分我的设计意图是回顾知识，拓展深化。（1）本节课我们主要学了什么？（2）用到了那些数学思想和解题技巧呢？

参考文献：

[1]例说巧解方程的根与函数的零点问题[J].黄海燕.数理化解题研究.2017（07）

[2]方程的根与函数零点的教学分层设计与反思[J].甘绮雯.数学学习与研究.2016（17）