对称的2-通道正交多滤波器组的参数化

张海波，张媛媛

(1.吉林化工学院 理学院,吉林 吉林 132022；2.吉林财经学校 公共基础教研室,吉林 吉林 132022)

多小波是小波理论的新发展，多小波指的是两个或两个以上的函数作为尺度函数生成小波.因为多小波可以同时具有很多良好的性质，如紧支撑性，正交性，对称性等，使得多小波比单小波有很多的优势.在某些情况下可以构造具有想要性质的多小波.在[1]中总是要求多滤波器组的参数化，参数化不仅能减少自由变量数也能减少限制，否则在最优化[2]中那些限制必须被强加，而且生成正交多滤波器组的仿酉系统的完全参数化经常为最优化设计和快速实现提供一个有效的构造.

在这篇文章中，我们将讨论对称/反对称的2-通道正交多滤波器组的参数化.由于多滤波器能通过它的多相矩阵被表示，正交多滤波器组的参数化能被简化成一个相应的仿酉矩阵.在[3]和[4]中已经指出仿酉系统的参数化对滤波器组的设计非常重要.基于前面的结果，我们将继续讨论具有对称/反对称的2-通道正交多滤波器组的参数化.

1 基本的定理和定义

定义1.1 对于某个常数，如果向量函数F(x)=(f1(x),f2(x),L,fr(x))T满足

fj(cj-x)=sjfj(x),sj=1 或者-1,1jr,

(1)

多小波系统的对称/反对称性能通过其相应多滤波器组来刻化，我们得到

H(z)=z-γdiag(D0,D1)H(z-1)D0

(2)

等价地有

hi(k)=Dihi(γ-k)D0,0kγ

(3)

其中Di=diag(ti0,ti1),i=0,1.

此外，由引理1.1我们能够将这种对称性通过其多相矩阵来体现.

定理1.1[5]设多滤波器组H(z)生成正交多小波系统，那么当γ=2L时，H(z)具有对称中心L当且仅当其多相矩阵EL(z)满足

EL(z)=z-(L-1)diag(D0,D1)EL(z-1)diag(z-1D0,D0)

(4)

2 主要结果

当γ=2L时，多滤波器组H(z)的长度为2L+1.求正交多滤波器组H(z)参数化问题就转化为求其仿酉多相矩阵EL(z)的相应问题.我们通过几个变换将EL(z)的参数化问题归结为满足条件的另一个仿酉矩阵BL-1(z)的参数化问题，然后应用前面的结果定理以及相应的逆变换，我们就能够得到EL(z)的参数化形式，进而能够给出H(z)的参数化形式.

定理2.1 设多滤波器组H(z)是正交的且具有对称中心L.那么其矩阵加细面罩与小波面罩Hi(z)(i=0,1)的系数hi(0)(i=0,1)具有如下形式[6,7]

或者

推论2.1 当γ=2L时，多滤波器组H(z)的长度为2L+1.则其多相矩阵EL(z)是因果的，仿酉的且满足(4)式且给出的矩阵EL(z)是因果的，仿酉的并且满足

E1(z)=z-(L-1)diag(J2,J2)E1(z-1)diag(z-1J2,J2).

证明首先,通过U的正交性及EL(z)的仿酉性，可知E1(z)是仿酉的，因果的.

E1(z)=UEL(z)U-1

=z-(L-1)(Udiag(D0,D0)U-1)(UELz-1U-1)(Udiag(z-1D0,D0)U-1)

=z-(L-1)diag(J2,J2)E1(z-1)diag(z-1J2,J2).

于是,我们有下面的结果.

定理2.2 当γ=2L时，多滤波器组H(z)的长度为2L，EL(z)是H(z)的多项矩阵.则有EL(z)是因果的，仿酉的且满足(4)当且仅当EL(z)能被参数化为

其中a,b是2×2正交矩阵，我们知道

定理2.3 当γ=2L时，多滤波器组H(z)的长度为2L，则H(z)是因果的，仿酉的且满足(2)的充分必要条件是H(z)能被参数化为

其中a,b是2×2正交矩阵.

算例 通过定理2.3，我们能假设

设

将ω,υ代入，可得

因为Chui-Lian多尺度函数的第一个分量是对称的，第二个分量是反对称的，可知向量是的相应于特征值1的特征向量.因此

其中