长条形镜面面形拟合技术研究

闫力松，杨甬英，马冬林，韩西萌

(1.浙江大学 现代光学仪器国家重点实验室，浙江 杭州 310027； 2.华中科技大学 光电学院，湖北 武汉 430074； 3.中国航天科工集团 第九总体设计部，湖北 武汉 430000)

1 引 言

离轴三反系统[1-5]具有像质好、无遮拦、结构紧凑、高分辨率成像及高能量利用率等优点，越来越广泛地应用于成像光谱仪[6]、空间相机[7-9]等观测领域。

离轴三反系统中的主镜或三镜通常有一块为不规则形状。由于成像视场需求，三镜及折叠镜通常为长条形镜面[2-3]。

由于离轴三反系统的三镜通常为非球面反射镜，其最常规的检测方式为采用补偿器或CGH等补偿元件进行补偿检测[10-11]。在对准过程中，由于失调，会在检测结果中引入像散与慧差等像差，从而影响后续加工结果。

在实际检测中，一般通过标定几何量确定检测顶点曲率半径及离轴量的正确性。而在检测中，干涉仪自带软件Metropro对非圆形镜面分离像差时会因为不正交产生偏差，尤其对长条形镜面，该偏差较大。从而会影响装调中非球面镜与补偿元件间的对准。

Zernike多项式定义域为单位连续圆域，其在异形区域会出现各拟合项不正交情况。国内已有多家单位对此开展过理论研究，南京理工大学的孙文卿等人对非圆孔径离散采样点正交化拟合进行了一定的研究，相对于传统圆域Zernike拟合，其计算速度有所提高[12]；成都光电所对Zernike多项式的回归拟合算法进行了研究[13],国家天文台对抛物面的拟合方法进行了理论研究[14]，长春光机所从光学设计、光学加工等方面对光学面形的拟合做了大量的研究[15-19]，同时吉林大学基于矢量矩阵对拟合方法也进行了一定的研究[20]。

然而，上述方法都有其应用条件及局限性，本文针对光学系统中常用的异形镜面，尤其是长条形光学镜面提出了一套面形拟合算法，该算法以正交化Zernike多项式[21-22]为基础。基于该算法可以实现长条形镜面的面形拟合，用以解决干涉仪自带软件Metropro在长条形镜面拟合时计算不准确的问题。此外，该方法可以分离出像散等像差，对非球面检测提供指导。

2 拟合算法与检测原理

2.1 拟合算法

用{Zi}表示一组Zernike多项式，其正交化后结果为{Fi}，则有：

(1)

式中，Mij为转换矩阵，J为事先定义的项数。则：

〈Fi|Fj〉=δij, (2)

其中，〈A|B〉表示A与B的内积，δij为Kronecker符号。

则：

(3)

其中，i,k=1,2,3…J。式(3)可以写为：

CZF=CZZMT, (4)

其中，CZF及CZZ均是J阶方阵。

对于式(4)，其可以写为：

(5)

即：

MCZF=1 , (6)

将式(5)带入(6)，则：

MCZZMT=1 , (7)

令：

M=(QT)-1, (8)

则式(7)可以写为：

QTQ=CZZ. (9)

由式(8)及(9)即可解出矩阵M，从而对{Zi}完成正交化运算。

求解得到正交化Zernike多项式{Fi}后，对干涉检测结果进行拟合计算，得到干涉检测结果：

zj=f(xj,yj) , (10)

式中，j为检测像素点，zj为检测点(xj,yj)对应的检测结果。

则正交化拟合系数C:

C=(FTF)-1FTz . (11)

2.2 检测原理

长条形离轴镜面检测原理示意图如图1所示。

图1 长条形镜面检测光路图 Fig.1 Optical pathway diagram of surface testing for rectangular mirror

干涉仪出射标准平面波，平面波前经过补偿器后变为同轴非球面波前，通过调节长条形离轴非球面镜的位置可获得镜面在干涉仪中的检测结果。检测中，可通过激光跟踪仪等辅助测量工具精确标定测试时离轴非球面反射镜的离轴量，顶点曲率中心距离补偿器前端面的距离等参数，保证测量时干涉仪、补偿器、离轴非球面镜位置关系的正确性。

3 实验验证

为了验证本文所述算法的可行性，结合实际工程项目，对一口径为600 mm×260 mm长条形非球面镜进行求解计算，光路如图2所示。

图2 检测光路图 Fig.2 Testing optical pathway setup

实际检测中，非球面镜由补偿器零位补偿检测，图1所示的光学反射镜检测干涉图如图3所示。

图3 检测结果 Fig.3 Testing results

在补偿器补偿检测非球面镜的过程中，由于检测时非球面镜存在离轴量偏差，通常会在检测结果中引入像散与慧差。反之，检测结果中的像散与慧差很可能是由于失调所引入的。如按照面形误差进行后续加工，则会在加工中出现错误而无法实现面形收敛。

利用Zygo干涉仪自带软件Metropro对检测结果进行去像散计算，结果如图4所示。

图4 Metropro去像散结果 Fig.4 Results of Metropro anastigmatism

由图4可以看出，在去像散后，面形未得到收敛，其PV与RMS值分别由5.889λ及1.002λ变为7.448λ及1.725λ。这是因为应用干涉仪自带软件Mertorpro进行长条形反射镜Zernike多项式求解时会由于各项不正交导致计算错误。

基于本文所述算法对图3干涉检测结果在正交化求解后进行去像散计算，结果如图5所示。

由图5可以看出，在去像散后，面形得到收敛，其PV与RMS值分别由5.889λ及1.002λ收敛为4.666λ及0.679λ，验证了算法的可行性。

图5 正交化去像散结果 Fig.5 Anastigmatism results of proposed method

4 结 论

本文提出一种通过矩阵求解正交化Zernike多项式面形重构算法，并利用其对长条形镜面进行拟合计算，将所得结果与Metropro求解结果进行了对比。由于Zygo干涉仪自带软件Metropro对异形镜面，例如长条形镜面进行多项式拟合时，由于各项耦合会造成装调误差与面形误差的严重耦合。在实际检测中，采用本文算法可以实现二者的有效分离，为光学镜面的最终面形收敛提供保障。本文所提方法可为计算法辅助装调提供指导。