发展学生数学核心素养的教学微设计*

2018年1月16日，教育部召开新闻发布会，介绍修订后的《普通高中课程方案和数学等学科课程标准（2017年版）》。其中，数学学科在这次修订的课程标准中新增了对学科核心素养的界定与论述，明确了数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析6大数学学科核心素养。那一线的数学教师如何在课堂中践行新修订的课程标准理念，让发展学生数学核心素养的教学目标真正落地呢？笔者以为，在教学理念层面，一线教师应当以深度学习理论为指导；在具体操作层面，除了在常规教学中进行渗透外，还可以从现行的普通高中数学教材中选取部分内容进行教学微设计，以此来达到培育学生数学核心素养的目标。

一、相关概念

深度学习是学生源于自身内部动机的对有价值的学习内容展开的完整的、准确的、丰富的、深刻的学习。从本质上看，它是一种主动的、探究式的、理解性的学习方式，要求学习者掌握非结构化的深层知识并进行有批判性的高阶思维、主动的知识建构、有效的迁移应用及真实问题的解决，进而实现元认知能力、问题解决能力、批判性思维、创造性思维等高阶能力的发展。深度学习是有意义的学习，要求学生的学习不是单纯的接受，而是在发现基础上的同化；深度学习是理解性的学习，重在引导学生通过深切的体验和深入的思考，达成对学科本质和知识意义的渗透理解；深度学习是阶梯式的学习，是促进式的、层次性的学习，这与《普通高中数学课程标准（2017年版）》阐述的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析这6大核心素养的3个水平层次相呼应。发展学生学科核心素养必须基于深度学习。

课堂教学微设计，指的是教师选取课堂教学内容中的某一部分（如问题情境、概念教学、探究活动、例题练习、知识应用等等）而进行的设计，它是整个课堂教学设计的一部分，若干个微设计构成整个课堂教学的设计。教师通过课堂教学微设计，促进学生的深度学习，从而达到学生发展数学核心素养的目标。由此可见，课堂教学微设计是方法，深度学习是过程，发展核心素养是目标，三者逻辑相关，有机统一。

下面以一则“平面向量的几何应用”案例加以论述。

二、案例分析

课堂教学微设计：

问题 1：求证 |a+b|2+|a-b|2=2（|a|2+|b|2）。如何构造一个图形解释这个公式的几何意义？（苏教版《高中数学》必修4“2.4向量的数量积”中的习题2.4第5题）

分析：|a+b|2=（a+b）2=a2＋2ab+b2与 |a-b|2=（a-b）2=a2-2ab+b2，两式相加即得。

向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性。在中学数学教学中常常把向量定位为研究几何问题的一种“工具”。教学中可引导学生联想向量加法与减法的几何模型，获得该等式的几何意义：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。

该问题求解后，可给出以下2道练习题加以巩固。

练习1：如果M是三角形ABC中BC边的中点，求证：|AB|2+|AC|2=2|AM|2+2|BM|2。（人教 B版《高中数学》必修4“2.4向量的应用”中的习题2.4B组第4题）

练习2：在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，求的值。问题 2：在 |a+b|2+|a-b|2=2（|a|2+|b|2）的求证过程中，你还有什么新的发现？

深度学习的数学课堂要呈现“关联”，教师在课堂上的工作就在于建立新的联结点，寻找新的连接，清理和整合众多的连接，并引导学生深入思考，从客观世界吸收营养来丰富、延伸这个网络。因而，在问题1的基础上，设计开放性问题2，给学生思维的自由度和广阔度，有利于发展学生逻辑推理的核心素养。

事实上，在等式 |a+b|2+|a-b|2=2（|a|2+|b|2）的求证过程中，学生对 |a+b|2=（a＋b）2=a2+2ab+b2与 |a-b|2=（a-b）2=a2-2ab+b2两式作差，即可发现：4ab=（a+b）2-（a-b）2，也即 a·b＝（a-b）2］（极化恒等式）。

（图1）

此式表明向量的数量积运算可以由向量的线性运算的模推导出，该式沟通了向量数量积运算和线性运算之间的关系。若a，b是实数，则该恒等式也可谓“广义的平方差公式”。极化恒等式的几何意义：向量数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，即a·它揭示了三角形的中线与边长的关系。

深度学习是内源性的学习，强调通过深切的体验和深入的思考，达成对学科本质和知识意义的渗透理解，在问题2的基础上，可转换角度，继续引导学生主动探究。

探究：根据 M，B，C 三点共线，易知 λ+μ＝1，这一结论显现了平面几何中的“三点共线”可以用向量线性表示。若D为线段AM（或延长线）上的一点，则必存在一个常数m∈R，使所以 x+y＝mλ+mμ=m。当点M，D 确定后，x+y的值便也确定，即

（图2）

（图3）

综上所述，可得以下结论（俗称“等和线定理”）：

易知，当点D与点A位于直线BC异侧时，有x+y＞1，且点D到直线BC的距离越大,则x+y越大；当点D与点A位于直线BC同侧时，有x+y＜1，且点D到直线BC的距离越大，则x+y越小。

本设计从问题1入手，得到平行四边形两条对角线与边长的长度关系式后，紧接着引导学生深度学习，得到“极化恒等式”和“等和线定理”，促进学生发展逻辑推理核心素养。

数学的思维是什么？就是逻辑推理。通俗地讲，就是由已经总结出来的规律推出新的规律。这是数学生长和发展的主要途径。有人曾打过比方，说数学抽象相当于“女娲造人”，从无到有产生数学；逻辑推理相当于“人生人”，从少到多发展数学。事实上，数学的发展依赖的是逻辑推理，就是从一些前提或者事实出发，依据一定的规则得到或者验证命题的思维过程，这里所说的规则是指推理过程具有传递性。［1］

推理过程具有传递性，推理更多的需要依赖深度学习。如上，可进一步改变视角，提出问题，发展学生逻辑推理核心素养，实现“人生人”：

问题4：如图4，试用四边形ABCD的四条边长表示对角线向量的数量积。

（图4）

引导学生探究：

上式表明：四边形的两条对角线对应向量的数量积可用4条边的长度表示。该定理的两个推论是显而易见的。

此式表明：当对角线互相垂直时，四边形两组对边的平方和相等。

此式可以求平面或空间的角度问题，包括线线角、线面角和二面角。需要说明的是，对角线向量定理和推论既适用于平面向量也适用于空间向量（图5）。

（图5）

如果说，数学抽象是从无到有产生数学；那么，逻辑推理就是从少到多发展数学，产生和发展的过程其实也是数学建模。如上微设计，“问题3”中得到的“等和线定理”和“问题4”中得到的“对角线向量定理”实际上体现了数学建模的思想。以上的微设计案例，问题1让学生在寻找代数式的几何意义中发展直观想象核心素养；问题2至问题4在拓展引申中发展学生逻辑推理，经历数学运算，建立数学模型，较好地促进学生数学核心素养的形成和发展。

综上，我们看到以深度学习理论为指导，以发展数学核心素养为教学目标的课堂教学微设计正是基于问题的设计，在问题的驱动下，引导学生独立思考，交流表达，发展数学核心素养。更重要的是，在课堂教学微设计中，通过对问题的阶梯式、促进式、层次性设计，让学生在发展数学核心素养的同时，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心，养成良好的数学学习习惯，发展自主学习的能力；树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神；不断提高实践能力，提升创新意识；认识数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。这才是数学学科教育落实“立德树人”要求，体现学科育人的价值所在，数学教育工作者当以此为重任。