基于累积前景理论的多资产投资组合优化与实证研究

邓浏睿　谭婕　邹超群

[摘要] 基于CPT视角的多风险资产投资组合模型，探讨投资者面对不同投资风险时的心理变化以及心理变化对其投资策略的影响。通过选取不同超额收益率及波动率水平的股票，测试投资策略对于风险态度指标的敏感度。研究表明，投资者面对不同风险具有明显地心理变化，并且其心理变化对投资策略具有显著的影响。具体表现在几个方面：投资者面对不确定收益时，表现出风险厌恶，面对不确定损失时，表现出风险偏好；投资者将无风险资产的投资收益作为心理参考点，所做的投资决策与相对于此参考点的相对财富水平的变化有关，而不是与传统理论中的绝对财富变化量相关。

[关键词] 行为金融；CPT；资产组合配置

[中图分类号] F830[文献标识码] A[文章编号] 1008—1763（2018）05—0085—07

Optimization and Empirical Research of MultiAsset

Based on Cumulative Prospect Theory

DENG Liurui， TAN Jie， ZOU Chaoqun

（Business School， Hunan Normal University， Changsha410081， China）

Abstract：Based on the multirisk asset portfolio model from the perspective of CPT， this paper discusses the psychological changes of investors and the impact of psychological changes on their investment strategies when they face different investment risks. This paper tests the sensitivity of investment strategies to the indicators of risk attitude by selecting stocks with different levels of excess returns. Research shows that investors have distinctly psychological changes in the face of different risks， and their psychological changes have a significant impact on investment strategies. Specifically， there are several aspects： When investors face uncertain gains， they show risk aversion. When they are uncertain losses， they show risk seeking. Investors take the investment returns of risk-free assets as psychological reference points. The decisions of investments are related to changes in the relative wealth level relative to this reference point， rather than to the absolute wealth changes in traditional theory.

Key words： behavioral finance； cumulative prospect theory （CPT）； portfolio selection

一引言

（一）研究背景

一直以來，最优投资策略都是国内外学者广泛关注的问题。从 Keynes创立的金融市场投资理论[1]，到Markowitz提出的Modern Portfolio Theory （MPT）[2]，再到 Osborne提出的随机游动理论[3]和Fama提出的有效市场假说（EMH）[4]，都是传统的最优投资策略研究的理论基石。

然而经济学家渐渐认识到在很多情况下期望效用理论与现实是相背离的。例如著名的 Allais悖论和Ells-berg悖论以及依状态效用等等。这些与传统期望效用理论相背离的现象促使新的理论不断涌现。最著名的理论之一便是在20世纪50年代Kahneman和Tversky提出的前景理论[5] 。他们建立了人类风险决策过程的心理学理论，将最优投资决策的视角拓展到了行为金融学[5]。然而，前景理论仅仅提出了一个描述性模型，并没有以严密的数学推导为基础。同时，前景理论也并未形成完整的理论体系，不能够满足一致随机占优理论及多事件情形[5]。因此很多学者提出了质疑。

针对前景理论的不足，Kahneman 和Tversky借鉴次序占优等其他行为金融学理论的研究成果，在前景理论的基础上，提出了具有严密数学基础的理论——累积前景理论（Cumulative Prospect Theory，CPT）[6]。累积前景理论借鉴次序依赖期望效用，将容量纳入到研究框架中。将投资者在不确定情景下的投资决策过程划分成评估和框定以及决策三种模块。在累积前景理论中，他们提出了权重函数和价值函数的显式表达式，使得CPT与一阶随机占优理论相一致。具体而言，累积前景理论提出了更加灵活的决策权重函数，以此来准确的描述个人投资者在投资中的两种心态：一是个人投资者往往会过高地估计小概率事件发生的概率，二是投资者在面对不确定的投资损失和投资收益时，所表现出的风险厌恶和风险偏好的程度不同。在后来的研究中，他们以CPT为基础，努力将个人情感、投资心理及决策模式融为一体，取得了很多有价值的学术成果，并获得了2003年的诺贝尔经济学奖[6]。

（二）文献综述

随着CPT理论的完善及系统化[7]，以此为基础的投资决策研究也日渐深入。在离散时间框架下，Bernard 和 Ghossoub提出了单期单风险资产的最优投资决策[8]。周迅宇等发展了Bernard和Ghossoub的理论[9-10]，将广义适定性问题公式化，并且研究了不同参考点下的最优投资决策问题。在以分段指数函数为价值函数的情况下，他们不仅考虑到与Bernard 和Chossoub类似的α小于β的情形，还探索了α大于β的情形。Zou和 Zagst将单期投资策略模型从无摩擦金融市场扩展到了有摩擦金融市场，将无交易成本单期模型扩展为有交易成本的单期模型[11]。邓浏睿在Zou和Zagst的研究基础上，将原有模型进一步扩展为多期有交易成本投资策略模型[12]。 Pirvu 和 Schulze关注了由一个无风险资产和多个风险资产所组成的资产组合的单期最优化问题[13]。他们假设所有风险资产的超额收益均服从椭圆分布，将一个高维椭圆分布问题转化成了一个一维随机分布问题，最终得到了单期多风险资产的最优决策。Shi等人在多期框架下，研究了PT 投资者的投资组合最优选择问题[14]。他们在研究多风险资产时，仍然沿用了Pirvu和 Schulze在椭圆分布假设下的研究框架。由于此研究是以PT为基础的，因此并未涉及到投资者对于小概率事件发生的概率会有过高估计的问题，并仅仅以一个固定常数作为参考点，并没有以无风险收益作为参考点。基于这些研究上的不足，邓浏睿与Pirvu合作，以CPT为基础，研究了多期投资组合最优化问题[15]。我们引入了概率权重函数，用以描述投资者对小概率事件发生概率的过高估计，并且以无风险收益作为参考点，分别研究了单风险资产和多风险资产的多期投资组合最优化问题。

国内的CPT研究主要集中在控制论、物流管理等管理学问题方面。黄其和基于CPT的视角研究了高铁快递运价机制[16]。汪军等针对指標值为云模型且具有指标期望的多属性决策问题，提出了一种基于CPT的决策方法[17]。刘学鹏等基于CPT建立了双重参照点影响下的买卖双方交易达成条件的模型，并得到不同交易发生时电子中介的最优撮合价格和买卖双方的综合满意度[18]。吴胜和李延来以CPT为框架，建立了基于消费者时间偏好和决策者风险偏好的定价与订货模型[19]。刘阿敏基于CPT，探讨了Levy市场的最优个体行为投资选择[20]。王韩麒等建立了基于CPT的异质通勤者多维出行决策模型[21]。

本文以Pirvu 等的单期多风险资产投资策略模型为基础，选取不同超额收益率及波动率水平的股票，测试投资策略对于风险态度指标的敏感度，探讨面对不同的超额收益率和风险水平，投资者的心理变化以及心理变化对投资决策所产生的影响。

本文第二部分介绍CPT投资组合模型，第三部分以CPT单期多风险资产投资组合策略模型为基础，选取不同超额收益率和波动率水平的A股股票，测试投资策略对于风险态度指标的敏感度，并从投资心理的角度分析在不同投资环境下产生不同投资策略的原因。第四部分概括了本文所得到的主要结论。

二模型

（一）基本假设

这里，我们讨论一种无风险资产和n种风险资产的投资策略。假设无风险资产的收益率为r，第i种风险资产的收益率为xi（i=1，2，…，n）。投资者所持有的初始资金为W0，投资于风险资产i的数量为πi，剩余的财富W0-∑ni=1πi将投资于无风险资产。那么投资者最终的财富为：

W=（W0-∑ni=1πi）（1+r）+∑ni=1πi（1+xi）=

W0（1+r）+∑ni=1πixi（1）

x=（x1，x2，…，xn）T（2）

i=x-r·1=（1，2，…，n）T （3）

向量指风险资产收益率与无风险资产收益率之差，也称超额收益率。基于CPT模型构建的三个基本假设 [6]，将其公式化如下：

1）参照依赖。累积前景理论下的投资者在评估其投资结果时会与某一基准、目标相比， 而不是最终财富的绝对水平，这个基准或者目标则将结果分为损益。我们将财富的参考点Wref公式化：

Wref=a·+b·π+p （4）

其中，向量a，b∈

瘙 綆 n，p为标量，且

a·b=∑ni=1aibi （5）

表示标量乘积。我们假设实际投资的线性投资组合为π， 随机收益率为， 固定值p存在。

根据参照依赖定理，我们不把重点放在总投资金额π上， 而是集中精力在参考点超过基准投资组合α的投资上， 假设此投资数量为

ζ=π-a（6）

与此同时，我们把投资者投资所获得的超额收益率超过参考点中的基准回报率的额外收益率设为y，以及数字c[15]：

y=-b （7）

c=p+a·b-w0（1+r） （8）

这些定义给出了在期末的实际随机财富W=Wref+ζ·y-c。也因此， 最终财富值与标准参考值的偏差为：

D（ζ）=w-wref=ζ·y-c （9）

为了方便后期实证的分析，假设a，b=0，p=w0（1+r），进而c=0，D（ζ）=ζ·y，进一步地可得知y=，ζ=π。关键随机变量D（ζ）的一维累积密度函数由F表示， 并将在下文中详细讨论。

2）损失厌恶。符合累积前景理论的“S”型价值函数有多种形式，本文选择了Kahneman和 Tversky提出的分段价值函数作为模型构建基础的价值函数，它也是目前最为常用的一种价值函数[10]。其函数表达式为：

u（x）=

xα 0<α<1， if x≥0

-λ（-x）β λ>1，0<β<1，if x<0 （10）

在价值函数表达式中，u表示投资结果与参照值的偏差，u（x）表示价值，α、β的涵义是行为人进行投资决策时的风险态度系数，表示的是价值函数的图形中的凹凸程度，α代表收益区域的凹度，β代表损失区域的凸度。根据Kahneman 和 Tversky的研究表明，α、β的数值越大，意味着行为人的投资决策越倾向于冒险。若是α=β=1时，表示行为人为风险中立。λ是损失厌恶系数，λ>1则表明行为人在投资时对于投资结果的损失更为敏感，λ越大表示行为人对于损失的结果越敏感。

3）迷恋小概率事件。迷恋小概率事件在累积前景理论里是指投资者在投资时会高估小概率事件，低估大概率事件。Kahneman 和 Tversky 提出概率分布函数的权重函数如下：

T+（p）=pγ[pγ+（1-p）γ]1γ （11）

T-（p）=pδ[pδ+（1-p）δ]1δ （12）

T+：[0，1]→[0，1]代表收益，T-：[0，1]→[0，1]代表亏损。由于投资者迷恋小概率事件，所以当概率接近与0、1这种边缘概率之时，投资者对概率的看法会出现大波动。在概率将近于0时，函数图形是凹的；在概率接近于1时，函数图形是凸的。并且，Kahneman和Tversky经过分析测试认为γ=0.61，δ=0.69，我们在后期的实证中将采用此数值。

总体而言，投资组合的期望价值是由于收益的期望价值和损失厌恶参数λ加权的损失的期望价值之间的差异得出的，λ>0[6]。

V（D（ζ））=V+（D（ζ））-λV-（D（ζ））（13）

V+（D（ζ））=∫

SymboleB@ 0u+（x）d[-T+（1-F（x））] （14）

V-（D（ζ））=∫0-

SymboleB@ u-（-x）d[T-（F（x））]（15）

收益的期望价值是V+（D（ζ）），損失的期望价值是V-（D（ζ））。

（二）收益分布

考虑随机向量y=（y1，…，yn）T，即风险资产的超额收益率符合椭圆对称分布，且期望向量E（y）=μ=（μ1，…，μn）T和协方差Cov（y）=Σ=（σi，j）i，j存在并且Σ属于正定矩阵，进一步假设密度函数f存在：

f（x）=|Σ|-12g[（x-μ）TΣ-1（x-μ）]（16）

其中，x∈

瘙 綆 n，g：

瘙 綆 +→

瘙 綆 +，g又称为密度卷积因子，所以，y的表达式可以写成：

y～ECn（μ，Σ；g） （17）

其中，μ，Σ为椭圆对称分布的参数部分，分别表示均值和协方差矩阵，g为非参数部分，表示密度卷积因子。这里， 偏差参考水平D（ζ）为单变量椭圆分布， 即

D（ζ）=ζ·y～EC1（，；g） （18）

在式（18）中，密度卷积因子g保持不变，均值与方差分别为：

=ED（ζ）=ζ·μ （19）

2=E[ED（ζ）-μ]2=ζTΣζ=∑ni=1∑nj=1ζiζjσi，j （20）

一般来说，我们在进行实证分析时通常以股票作为风险资产，风险资产收益率为股票收益率。由于通常可供选择的股票种类不止一种，因此在解决最优决策问题时，我们将面临一个挑战——如何解决高维最优化问题。并且，由于股票种类众多，最优化问题的维数也将很大。为了解决这个为题，我们引入了椭圆分布。由于服从椭圆分布的随机变量的线性组合仍然服从椭圆分布， 这就为我们对高维问题的降维处理提供了很大的便利。它将在保留参数部分（μ，Σ）必要的高维性的同时，将非参数部分g降为独立于维数n的一维函数。这种降维处理，不仅将大大简化理论模型，而且也将大大降低实证分析的计算量。由此可见，椭圆分布在投资组合分析中起着核心作用。由已有的研究成果可知，当且仅当资产收益服从椭圆分布时投资组合的预期效用仅由其平均值和方差决定。我们将这个结果拓展到 CPT，即偏差的分布是由它的平均值和方差决定的。

椭圆分布类包含许多常见的分布类型，如多变量正态分布、多变量柯西分布、多元 t 分布、多元指数幂族以及一般的对称广义双曲分布等。不过我们在此仅考虑多元正态分布这一种特殊情况，即：

g（u）=（2π）-n2exp （-12u） （21）

y～Nn（μ，Σ） （22）

因此偏差D（ζ）服从单变量正态分布，即D（ζ）～N1（，）。

（三）最优投资组合解

为得到投资者的最优投资组合，我们需要寻求预期价值函数的最大值，即解决预期价值最大化问题：

sup ζ∈

瘙 綆 nV（D（ζ）） （23）

为构建CPT单期多风险资产模型，我们进一步提出以下四条假设：

1）最优投资组合是有限的；

2）允许借贷；

3）最优投资组合ζ*存在且ζ*=arg max ζ*∈

瘙 綆 nV（D（ζ））；

4）每位投资者风险态度都相互独立。

投资者投资于无风险资产和风险资产组合的最优方法称为均值-方差组合。同时，均值-方差组合对于所有CPT投资者都是相同的，它与个人风险偏好无关，只取决于n种风险资产的均值和相关性。均值-方差投资组合ζM由下式定义：

ζM=Σ-1μ （24）

和

D（ζM）=ζM·y=Σ-1μ·y （25）

不难发现，

ED（ζM）=E（ζM·y）=

ζM·μ=ζTMInμ=ζTMΣΣ-1μ=

ζTMΣζM=VarD（ζM）=σ2M（26）

我们把在均值方差模型下资产进入最佳的参与水平设为k*

k*=arg max k∈

瘙 綆 V（D（kζM）） （27）

基于式 （23）的条件，我们可以得出在累积前景理论模型下投资者的投资最优投资组合方式：

ζ*=k*ζM=k*Σ-1μ （28）

由此可知，最优的总投资量为 π*=k*ζM+a=k*ζM。当k∈

瘙 綆 时，投资组合的偏差为：

W-Wref=kζM·y=D（kζM） （29）

这样，我们就将n维的投资组合优化问题转化成为关于k*的一维最优化问题，有效地避免了维度效应。并且，也将降低实证分析的计算量。同时，我们也能断定在均值-方差投资组合模型下的最佳参与水平明显存在。

具体而言，在累积前景理论条件下的投资者的投资最优投资组合为：

ζ*=k*ζM=

k1ζM，V（D（k1ζM））≥V（D（k2ζM））

k2ζM，V（D（k1ζM））

k1=（αβ）1β-α∫

SymboleB@ 0xαT+（p）dxλ∫0-

SymboleB@ （-x）βT-（p）dx1β-α<

SymboleB@ （31）

k2=-（αβ）1β-α∫

SymboleB@ 0xαT+（-p）dxλ∫0-

SymboleB@ （-x）βT-（-p）dx1β-α

>-

SymboleB@ （32）

三实证研究

为分析不同收益率及波动率水平下，最优策略对于参数α和β的敏感性，我们以收益率和波动率各异的15只蓝筹股为代表，测试其最优策略对于参数α和β的敏感性。假设γ=0.61，δ=0.69，λ=2.25，参考財富水平Wref=1。这十五只蓝筹股分别为： 广汇能源、工商银行、五粮液、中联重科、建设银行、保利地产、贵州茅台、大秦铁路、中国石化、泸州老窖、格力电器、海螺水泥、粤高速、葛洲坝、华能国际。我们选取该十五只股票从2017年01月03日至12月29日一整年数据作为研究对象，分析其敏感度。并且，将我国2017年末1年期债券收益率3.814%作为无风险年利率（数据来源：全球经济数据网），即债券日收益率0.0106%作为无风险日利率。同时，为了求出投资者进行投资的最优投资解ζ*=k*ζM，首先我们需要计算出：

ζM=Σ-1μ= [-0.05230.0702-0.0980-0.04870.10650.06130.10640.0898

-0.0102-0.00370.06130.03140.0979-0.1022-0.0272]T

其次，由式（24）可推导出=0.1187，2=0.1187，=0.3445。考虑式（11）和式（12），计算T+以及T-。最后，根据式（30）～式（32），得出k1和k2分别为：k1=1.5979×10-1，k2=-6.5169*10-2。

所以，最优投资解为：

ζ*=k*ζM= [0.00340.01120.00640.00320.01700.00980.01700.01430.00070.00020.0980.00500.01560.00670.0018] T

由以上分析可知，以我们选择的十五只股票为例，投资者若要获得最优投资回报，最优决策将按照上述的最优投资解进行投资。

首先，我们测试最优解对参数α的敏感性。设β=0.88， α从0.78变化到0.83。

α

从图1我们可以发现：

（1）股票的最优投资量的大小伴随着α的增加而减少。当α从0.78增加到0.83时，股票最高持有量从0.30降低到接近0。由于参考财富水平为正时，累积前景理论条件下的投资者呈现出风险厌恶的情况，随着α的增加，投资者的风险厌恶程度也增加，因此他们对风险资产的风险溢价需求将提高。所以，在风险资产溢价不能满足投资者的要求时，投资者偏好于投资无风险资产。

（2）格力电器和工商银行的资产配置对于α的变化相对不敏感。α从0.78增加到0.83时，它们的持有量的变化较小，分别为0.0137和0.0209。由于格力电器和工商银行的波动率较大，即投资风险较大，所以对于投资者而言，其初始持有量并不高。因此，对于这两只原始持有量本来就较低的股票来说，随着α的增加，投资者虽然因为风险厌恶程度的增加对两者有所减持，但减持的绝对变化量却不大。

（3）五粮液和中联重科的减持幅度相对最高。对于初始时刻波动率较小的股票，投资者认为风险较小，因此初始持有量较高。然而，当α不断增大时，风险厌恶投资者风险厌恶的程度也随之加深。因此，对于初始持有量较高的股票，也将抱有更为谨慎的态度，减持的幅度会更大。

接下来，我们测试最优解对参数β的敏感性。设α=0.80，β从0.85变化到0.90。

β

从图2我们可以看出：

（1）股票的最优投资量的大小伴随着β的增加而增加，当β从0.85增加到0.90时，各股票持有量呈现迅速增长的态势，最高持有量从接近于0增长至0.13。由于随着β的增加，投资者的风险厌恶程度是减小的，因此他们对风险资产溢价的需求更低。所以，相比于投资无风险资产，投资者更偏好于投资风险资产以获取较高的风险收益。

（2）股票格力电器和工商银行的最优资产配置对于β的变化相对不敏感。β从0.85增加到0.90时，格力电器和工商银行的持有量的变动较小，分别为0.0065和0.0093。其变化量较小的原因，与α变动时的原因类似。对比α增加时，这两只股票的减持幅度，不难发现当β增加时，其增持幅度较小。这表明，最优策略对于β的敏感度比对α的敏感度更低。

（3）五糧液和中联重科的增持幅度相对最高。随着β的增加，投资者风险厌恶的程度也随之降低。因此，行为人对具有较高超额收益的风险资产抱有更为偏爱的态度，股票的收益率越高，投资者增持的幅度也更大。

四结论

（一）研究结论

本文采用理论模型与实证研究相结合的方法，在我国A股市场随机挑选了十五只收益率和波动率各异的蓝筹股为实证分析对象，运用累积前景理论对投资者的投资决策进行了实证分析，并得出如下结论：

（1）基于累积前景理论模型的框架，随着投资者的风险态度系数α的增加，投资者的风险厌恶程度会有一定程度地上升，对于在投资组合内波动率较大的股票，投资者会进行减持，并且减持幅度会大于波动率小的股票。

（2）随着投资者的风险态度系数β的增加，投资者的风险厌恶程度会一定程度地下降，对于在投资组合内超额收益较高，表现优异的股票，投资者会进行增持，并且增持幅度会大于表现普通的股票。

（3）最优投资策略对于α的敏感度高于β的敏感度。当α增加时，投资者对股票减持的绝对数量明显高于当β增加相同幅度时，投资者对该股票增持的绝对数量。

（二）研究的创新与不足之处

首先，本文通过累积前景理论的归纳，得出行为人在累积前景理论的条件下的最优投资组合策略。与国内的众多文献相比，本文的创新之处如下：

（1）采用国内A股市场蓝筹股作为实证对象，蓝筹股作为大多数散户投资的首选目标，对投资者具有较大的现实意义。

（2）采用我国一年期国债作为模型内的无风险资产，其收益率作为模型内的无风险收益率。因此，在实证过程中，相关数据处理做得更为真实可靠。

（3）本文更加关注在随着时间变化的相对财富水平下，CPT投资者的心理变化对资产配置的影响。在实证研究中，我们是以与时间相关的无风险收益为参考点，这样将更加准确的刻画出投资者在不同时间点的心理变化，这一假设更符合现实情形下投资者的实际心理状态。

同时，本文也存在着一些不足：

（1）论文基于CPT框架，研究了静态投资策略的实证分析问题。然而，并没有涉及到动态投资策略以及投资者在观察到风险资产历史收益后的心理变化。

（2）本文实证模型仅采用了累积前景理论中的经典模型，并没有考虑信息不对称、交易成本等对于经典问题的改进。

（三）进一步研究的问题

在今后的研究工作中，我们将进一步探索动态投资策略的实证问题。同时，也将考虑到信息不对称、交易成本等因素对于投资者心理变化的影响以及对于投资决策的影响。

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