带有延迟脉冲的时滞切换系统的指数稳定性

丁 建, 冯桂珍

(1.南京信息工程大学 数学与统计学院,江苏 南京 210044；2.南京工业职业技术学院 基础课部,江苏 南京 210023)

切换系统是一种混合系统，由一族连续或离散的子系统构成，各子系统间通过切换信号(或切换律)进行模式切换。脉冲系统能够比较真实地模拟许多实际问题中的状态突变现象，近些年引起了国内外学者极大的研究兴趣。随着切换系统在电子、通讯、计算机领域的广泛应用，脉冲切换系统的稳定性问题逐渐成为新的研究热点。在信息传播和脉冲采样过程中，时间延迟(时滞)不可避免，时滞的存在导致系统状态不仅与当前时刻相关，也受到延迟时段内系统演化的影响，因此，对于时滞脉冲系统稳定性的研究也显得非常重要。

在当前研究时滞脉冲系统稳定性的结果中，绝大部分主要关注时滞对系统状态连续演化(即脉冲间隔时间段的状态变化)的影响，关注时滞对脉冲时刻系统状态影响的结果较少。最近，[1]研究了带有延迟脉冲作用的无时滞自治系统，得到了系统渐近稳定性的充分条件，但这一方法不适用于非自治系统。[2]应用常数变异法研究了一类带有稳定的延迟输入脉冲的时滞系统，得到了一些稳定性结果。[3]应用微分不等式方法研究了带有不稳定脉冲延迟的时滞神经网络的指数稳定性。[4]应用脉冲系统法研究了数据采样系统。在几乎所有时滞脉冲系统稳定性的结果中，对于相邻脉冲间的时间间隔都有比较严格的限定。一般来说，这些结果均需要脉冲间隔长度控制在事先设定的某个区间内，这大大限制了脉冲发生和脉冲采样的随机性，使得结果的应用受到了很大的束缚。

笔者注意到，文[5]和[6]应用“平均脉冲区间”条件来代替对脉冲间隔长度的要求，研究了一类脉冲网络的同步性。后来，文[7]应用类似条件研究了带有延迟脉冲的时滞系统的稳定性。受此启发，本文拟用这一条件研究带有延迟脉冲的切换时滞系统。本文的创新点主要在于：(1)通过平均化脉冲间隔消除对每个脉冲间隔的长度限制。结果表明，只要使得脉冲出现的频率足够合理，系统状态稳定即可得以保证；(2)在应用Lyapunov-Krasovskii方法证明系统稳定性时，需要针对系统的连续状态和脉冲状态分别构造符合切换要求的Lyapunov切换函数，本文通过对连续状态和脉冲状态构造统一的切换函数，证明系统能够达到稳定；(3)本文给出的条件能更清晰地揭示系统状态的演化，在实际问题中应用更为便捷。

1 准备工作

对ρ≥0,r>0,令I(ρ)={x∈Rn||x|ρ},PRC([-r,0],Rn)={φ:[-r,0]→Rn|φ是逐段右连续函数}。对φ∈PRC([-r,0],Rn)，其范数‖φ‖r=sup-rθ0|φ(θ)|。对x∈PRC([t0-r,+),Rn)及t≥t0，定义xt∈PRC([-r,0],Rn)为xt(s)=x(t+s)。D⊂Rn为一开集，满足I(ρ)⊂D。

考虑下述带有延迟脉冲的时滞切换系统

其中,x(t)∈Rn为系统状态,x(t-)是x在t时刻的左极限。Nc和Nd为切换指标集，满足对每个k∈N,ik∈Nc,jk∈Nd。因此，对应不同的脉冲区间，连续状态服从不同的演化规律(a)；对应于不同的脉冲时刻，脉冲状态服从不同的跳变规律(b)。切换函数fik:R+×PRC([-r,0],D)→Rn满足fik(t,0)=0。gjk:D×D→Rn为脉冲切换函数。{dk≥0,k∈N}为脉冲延迟，满足max {dk}=d<,t0为初始时刻，{tk}为(t0,+)上的增列，tk→+,φ∈PRC([-τ,0],Rn)为初始状态，τ=max {r,d}。

本文后面均假定对φ∈PRC([-τ,0],Rn),(1)有惟一解x(t)=x(t,t0,φ),且为右连续的,即x(t+)=x(t)。

定义1对给定的脉冲列{tk},(1)的零解称为指数稳定的,如果存在正数ρ0,M,λ使得对φ,‖φ‖<ρ0，(1)的解x(t,t0,φ)满足|x(t,t0,φ)|M|φ|τe-λ(t-t0),t≥t0。

定义2[5]对给定的脉冲列ζ={tk},称其平均脉冲区间不小于Ta1，若存在N1∈Z+,使得

Nζ(T,t)∀T≥t≥0,

其中，Nζ(T,t)表示ζ在(t,T)上的脉冲次数。

定义3函数V:[-τ,)×I(ρ)→R+称为是ν0类的，若

(2)V(t,x)关于x∈I(ρ)是局部李普希兹的，且对所有t≥to,V(t,0)≡0。

2 主要结果

本节给出切换系统(1)的指数稳定性法则,首先,做如下假设:

(A1)对每个i∈Nc，存在L1i>0使得对任一φ∈PRC([-r,0],I(ρ))，有|fi(t,φ)|L1i‖φ‖r。

(A2)对每个j∈Nd，存在L2j,L3j>0使得对所有x,y1,y2∈I(ρ),有|gj(x,0)-x|L2j|x|,|gj(x,y1)-gj(x,y2)|L3j|y1-y2|。

(A3)脉冲列ζ={tk}的平均脉冲区间不小于Ta>0,即存在N0∈N,使得对所有T≥t≥t0，Nζ(T,t)

定理1设(1)满足(A1)-(A3)，存在Vi∈ν0，正数ai,bi,ci,vi,k1i,k2i及pi≥1,满足下述条件

(S1)对(t,x)∈[tk-1,tk)×I(ρ),aik|x|pikVik(t,x)bik|x|pik,k∈N。

(S2)对t∈(tk-1,tk),s∈[-τ,0)及x(·)∈PRC([-τ,0],I(ρ)),只要t+s∈(tk-1,tk)且ecikτVik(t,x(t))≥Vik(t+s,x(t+s))即有D+Vik(t,x(t))-cikVik(t,x(t))。

(S3)对t=tk及x,y1,y2∈I(ρ)且y1+y2∈I(ρ),有

(Vik+1(tk,gjk(x,x))/(vik+1bik+1))1/pik+1

以及Vik+1(tk,gjk(x,y1+y2))k1ik+1Vik+1(tk,gjk(x,y1))+k2ik+1Vik+1(tk,gjk(0,y2))。

令a=inf {ai},b=sup {bi},c=inf {ci},p=inf {pi},p=sup {pi},kj=sup {kji},(j=1,2),v=sup {vi},Lj=sup {Lji}(j=1,2,3)。设a,b,p,kj,v,Lj<+,c>0。若存在d≥0使得

(2)

证明由(A3),对满足(2)的正数d,在(t0,t0+d]上至多存在l次脉冲。令leL1d。

(3)

且

(4)

令x(t)=x(t,t0,φ)为方程(1)的解，我们将证明

|x(t)|)。

(5)

设 (t0,t0+d]上的脉冲时刻为{ti},i=1,2,…m,ml。应用文[7]的方法可证

|x(t)|l‖φ‖τeL1(t-t0)l‖φ‖τeL1d=σ‖φ‖τ,t∈[t0-τ,t0+d]。

对t∈[tk-1,tk],k∈N,Vik(t,x(t))为[t0,+)上的右连续函数，令

我们将用数学归纳法证明:对任一k∈N,

Wik(t)

(6)

显然，当k=1,2,…,m时，(6)成立。我们断言其对k=m+1也成立。

若否，则存在t*∈(tm,tm+1)及0<εim+1

(7)

且对t∈[tm,t*),

Wim+1(t)

(8)

故对t∈[t*-τ,t*)∩(tm,t*),有

Vim+1(t*)>e-λ(t*-t)pim+1/pVim+1(t)≥e-λτpim+1/pVim+1(t)≥e-cim+1τVim+1(t)。

由(S2)得D+Vim+1(t*)-cim+1Vim+1(t*)。

故有D+Wim+1(t*)-(cim+1-λpim+1/p)eλ(t*-t0-d)pim+1/pVim+1(t*)<0,与(7)矛盾。

因此，(6)在[tm,tm+1)上成立。

现在，假定对任一取定的自然数s,(6)对不超过s的自然数k均成立，据此证明(6)对k=s+1成立。

由 (S1),对t∈[tk-1,tk),ks,有

a|x(t)|pikVik(t,x(t))

(9)

故对t∈[tk-1,tk),ks,

(10)

据此可得 |x(t)|<ρ,t∈[t0-τ,ts)。

显然，

(11)

由于Nζ(ts,ts-ds)在(ts-ds,ts)上至多存在l次脉冲，设这些脉冲时刻为ts-l0,ts-l0+1,…ts-1,l0l。

(12)

据(10)和(12)不难验证

|Δs|

(13)

注意到δ的选取，由(10)可证

(14)

结合(4),(9),(13),(S1)及(S3)可得

因此，Wis+1(ts)

用证明(6)在[tm,tm+1)上成立相同的方法，可证(6)在[ts,ts+1)上成立。由数学归纳法知对任意的k∈N,(6)在[tk-1,tk)上成立。

由上述证明可知，

Vik(t)

故又由(S1)得|x(t)|在[t0,+)上成立，定理得证。

注1条件(S3)表明，若Lypunov函数在时刻t前的一个延迟周期[-τ,0]内以不超过速率c指数增长，为实现系统稳定，其在t后的一段时间内应以不低于速率c指数下降。

注2定理1用以研究系统在充分小脉冲延迟作用下的指数稳定性，即鲁棒指数稳定性。应用该定理需先由不等式(2)确定出脉冲延迟的上界。

接下来考虑带有任意有界脉冲延迟的切换系统(1)的指数稳定性。

定理2设(1)满足(A1)-(A3)，存在Vi∈ν0，正数ai,bi,ci,vi,k1i,k2i及pi≥1,满足(S1)和(S2),且有下述条件成立。

Vik+1(tk,gjk(x,y))M1ik+1Vik+1(tk,x)+M2ik+1Vik+1(tk,y)。

设x(t)=x(t,t0,φ)为方程(1)的解。用证明定理1相同的方法，可以验证(6)对k=1,2,…,m+1成立。假设(6)在[tk-1,tk),ks,s∈N上成立，我们要证明其在[ts,ts+1)上也成立。由定理1的证明，只需证明Wis+1(ts)

从而定理得证。

3 结 论

本文研究了带有脉冲作用的时间延迟切换系统。不同于以往结果，本文没有分别构造连续状态和脉冲(切换)时刻状态的Lyapunov函数，而是构造了同时适用于两种状态的统一的Lyapunov函数，分析了系统状态的演化，得到了带有有界时间延迟脉冲和任意时间延迟脉冲作用的切换系统的指数稳定性结果，这些结果较已有结果有更广的应用性。本文结果还有一些值得进一步研究的问题，比如，当脉冲时刻与切换时刻不一致时系统的稳定性问题，当系统(1)的连续状态(a)不稳定((S2)中ci<0)时系统的稳定性问题等，这些问题将在今后的研究中进一步讨论。