以不变应万变，立足课本基础

刘春生

题目呈现：

已知二次函数y=ax+4ax+4a-1的图象是C1。

（1）写C1的顶点坐标，求C1关于点R（1，0）中心对称的图象C2的函数解析式。

（2） 设抛物线C1、C2与y轴的交点分别为A、B，当|AB|=18时，求a的值。

一、试题背景

此题对应的课标考查要求：（1）通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义；（2） 会用描点法画出二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质；（3）会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化成y=a（x-h）2+k的形式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对称轴，并能解决简单实际问题；（4）会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解；（5）知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数。

二、试题的立意

1.此题立足课标对二次函数的考查要求，主要是想考查学生对二次函数核心知识掌握情况.着重考查了二次函数的顶点及解析式的互相转化，所涉及的知识还有对称、两点间距离。

2. 在能力上考查了二次函数知识中所蕴含的转化思想、方程思想、数形结合思想，求学生体会数学知识之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。

三、解题策略

（一）学生可能遇到的困难有

1.在中心对称中如何求点的坐标；2.中点坐标公式在中心对称中的应用；3.两点间的距离公式；4.易错点是两点的距离公式学生不加上绝对值，从而不分类讨论导致漏解。

（二）题目分析

1.显性条件：是二次函数的一般式；隐含条件：将一般式化为顶点式。要特别关注学生写成顶点时应注意的问题（如：遗漏a等）。

2.求顶点式的解题方法

方法一：配方法。方法二：先找对称轴再代入一般式，从而求出顶点坐标C（-2，-1）。

（三）解决此题的重点

1.将点的对称转化为全等三角形或中点来求，应用转化思想。

2.图像关于点成中心对称后，开口方向有何变化。

（可利用几何画板做出动画让学生理解如图1）

（四）此题难点：图像变化过程中a的变化，顶点的变化。

（五）详细的解题策略过程。

（1）由显性条件①你能想到什么？（复习引出二次函数三种解析式）

②由①你能将它化成顶点式吗？有哪些方法？

（2）C1关于点R（1，0）中心对称，关键抓住什么？（二次函数关键抓住顶点）

（3）怎样求C2的顶点D呢？

思路1：C、R、D三点共线，且R為C、D的中点（图2），利用中点坐标公式，设D（x，y）。

思路2：分别过C、D两点作x轴的垂线（图3），垂足分别为M、N，则△CMR与△DNR有何关系？MR=NR，为第（2）问铺垫求两点间距离。

思路3：能否分别过C、D两点作y轴的垂线（图4）？

思路4：能否直接用CD=2CR而求出D的坐标？此时C2的开口方向与C1的有何关系？（结合几何画板演示给学生看，让其感悟）开口相反。

详解：（1）此时应用了转化思想，利用几何画板将抽象难懂演变得直观形象，还可以做出关于直线x=1对称，关于直线y=0对称等。

（2）与y轴的交点只需x为0，从而求出A、B两点坐标A（0，4a-1）、B（0，-16a+1），|AB|=|（4a-1）-（-16a+1）|。而此时学生易错：①没有添上括号；②没有绝对值符号，从而遗漏一个答案

四、试题的拓展与提升

（1）结论变式：

①降低难度，将R（1，0）变为原点（0，0）；②同难度，将R（1，0）换成关于x=1对称；③同难度，将R（1，0）换成关于y=0对称。

（2）探索变式：

①已知C2解析式为：y=-a（x-4）2+1。试问C1与C2有何关系？

②试探究，当C1、C2有一个交点为R（1，0）时，此时的a的值是否存在？

五、反思与总结

（一）此题的好与改进的方面

此题很好地考查了二次函数的核心知识，很好地体现了学生数学能力以及勇于探究不怕困难的情感。但入手较难，没有较好地体现学生在数学上的不同体验，让部分已掌握一定二次函数基本知识的学生难以得到收获。从这个角度上来讲，如能增加一个轻易入手的问题就更好，比如：增加第一小问：若a=1，则顶点坐标是什么？

（二）二次函数的教学建议

函数是初中数学的重要内容之一，也是较难和抽象的知识，多数学生学起来觉得比较辛苦，难以掌握。特别是九年级的二次函数的综合问题，学生常常出现无从入手的感觉。而二次函数一直是我们江西中考的热点和难点，也是学生综合能力的体现。