应用数学思维巧解生物难题

广东

随着高考改革的不断深入，尤其是不久的将来高考将打破原有的文理分科模式，施行3+3自由选择考试科目，预计会有许多学生在选择一些理科科目（如生物）的同时也会搭配部分文科科目（如历史、地理等），这样学科间的界限可能会逐步淡化，这就要求学生在平时的学习和备考中应当具备跨学科思维。笔者通过实践发现，生物教学中的一些问题偶尔运用数学的知识来解读往往会收到更好的效果。

1.自由组合定律与乘法分配律

孟德尔自由组合定律是教学的重点，由此衍生出很多的遗传概率问题更是历年高考的难点之一。在多年的教学过程中，笔者发现数学中的乘法分配律与之有着较大相似性，利用乘法分配律可以将一些遗传题变得简单。公式原型（m+n）（p+q）= mp+mq+np+nq，变形后为（m∶n）（p∶q）=mp∶mq∶np∶nq。

例如两株纯合豌豆亲本黄色圆粒（YYRR）和绿色皱粒（yyrr）杂交得到F1（YyRr），F1自交可将其拆分成Yy和Rr，这样（YY+Yy）∶yy、（RR+Rr）∶rr的比例为（3∶1）（3∶1），根据乘法分配律的变形公式得出9∶3∶3∶1。这样如果其中一对性状存在显性纯合（即YY或RR）致死时，则F1自交比例为（3∶1）（2∶1）或（2∶1）（3∶1），根据乘法分配律展开为6∶3∶2∶1。如果两对性状同时存在显性纯合（即YY和RR）致死现象时，则F1自交比例为（2∶1）（2∶1），展开为4∶2∶2∶1。

2. DNA复制与“同角的互补角相等”

DNA在复制过程中严格遵循碱基互补配对原则，所以一个亲代DNA分子复制后可以产生的两个完全相同的子代DNA分子，如图1亲代DNA分子由a和d两条链组成，复制过程中同时生成含a、b链和c、d链的两个子代DNA分子。人教版教材必修2第54页中写到“复制结束后，一个DNA分子就形成了两个完全相同的DNA分子”，从而保证了遗传的稳定性，但是教学中部分学生难以理解为什么这两个子代DNA分子完全相同。

图1 DNA半保留复制

为此，笔者并没有直接讲生物学的理论，而是列出了几何学上的对顶角原理（如图2）：因为∠1与∠2互补（即两角之和为180°），∠3也与∠2互补，所以∠1=∠3；同理，又因为∠2、∠4都与∠3互补，所以∠2=∠4，即同角的补角总是相等。

图2 补角与对顶角

用相同的原理，d链与a链互补，且b链也与a链互补，因此b、d链的碱基序列完全相同 ；同样a、c链都与d链互补，则a、c的碱基序列完全相同，因此DNA（ab）与DNA（cd）完全相同。

3. 杂合子Bb的基因型频率与完全平方公式

对于基因频率的概念人教版教材必修2第115页只是简单地给出一句话来定义，“在一个种群的基因库中，某个基因占全部等位基因数的比率”，然而各种教辅资料中出现的与基因频率计算相关的习题却常令初学者摸不着头绪。例如：某二倍体生物种群含有一对等位基因B和b，其基因频率分别为m和n，若该种群雌雄比例相等，且都能随机交配产生后代，那么后代的基因型有多少种？所占比例是多少？

经思考后学生们异口同声地回答：F1代基因型有BB、bb和Bb，所占比例分别为m2、n2和mn。学生是怎么考虑的呢？配子B分为雌配子和雄配子，基因频率为m，由于雌雄配子的结合是随机的，所以出现BB受精卵的概率就为mm，即m2。同理bb和Bb为n2和mn。

其实学生对于纯合子基因频率的计算是正确的，而对于杂合子Bb基因频率的计算则出现错误，听了学生的回答笔者明白了学生犯错的原因。为了计算出杂合子Bb的基因频率，笔者没有直接从抽象的遗传学入手，而是切入到数学上的完全平方公式：

在基因库中B的基因频率为m，b的基因频率为n；因为 m+n=1→（m+n）2=12→ m2+2mn+n2=1，F1代 BB和bb的基因型频率分别为m2、n2，所以Bb=1-BB-bb=1- m2-n2=2mn。可为什么是2mn而不是mn呢？为了表述清楚，笔者采用了棋盘的模式向学生展示（如表1）：

表1

棋盘中共出现两次“Bb（mn）”，一次表示B的精子与b的卵细胞结合生成的受精卵，其概率为mn，另一次表示B的卵细胞与b的精子随机结合生成的受精卵，概率也为mn，这样子代出现基因型Bb的概率为2mn。

4.植物激素与集合

植物激素是植物自身分泌的可以调节其生命活动的化学物质，主要包括生长素、赤霉素、细胞分裂素、脱落酸和乙烯5大类，但是由于植物激素的含量微少、不易保存且作用一次就被灭活，科学家就模仿这些激素人为地合成了一些化学物——植物生长调节剂，这些物质具有与植物激素相似的化学性质，但更加稳定持久，如NAA（萘乙酸），2，4-D与生长素一样具有两重性，因此多用于制备除草剂；乙烯容易挥发，因而人们就合成一种块状物质——乙烯利，放在苹果箱中能够稳定地释放出气体乙烯；还有日本科学家参照细胞分裂素而合成的一种能加速水果细胞分裂的膨大剂。由于这些调节剂具有与相应激素相同的效应，学生在练习中屡屡犯错，比较常见的就是学生总是把NAA当成生长素的一种（可能由于生长素的英文名是IAA，二者很相似导致的）。为了帮助学生有效地理解植物激素与植物生长调节剂之间的区别，笔者想到了用集合来描述二者的关系（如图3）。从图中可以清楚地看出生长素、乙烯、脱落酸等是植物激素的子集，乙烯利、膨大剂、NAA等是植物生长调节剂的子集，而这两大类本身并没有交集，这样就可以用学生熟悉的数学模型把抽象的生物学问题描述清楚。

图3

5.种群“J”型曲线λ的取值范围与增函数

人教版教材必修3第4章第2节介绍了“J”型曲线的数学模型：Nt=N0λt，其中t 为时间，N0为该种群的起始数量，Nt表示t年后的数量，λ表示种群数量是前一年的倍数。遗憾的是课本中并没有告诉λ的取值范围，所以笔者把这个问题带到了课堂上，学生们不假思索地给出答案：大于0！为什么呢？学生普遍地认为“J”型曲线是在理想条件下发生的，种群数量每一年都在不断地增长，所以λ必须是正数，所以认为λ的取值范围大于0！真的是这样吗？若利用数学上的函数增减性来分析这个问题：假设t年的种群数量为Nt=N0λt，那么t年后的那一年就是t+1年，其种群数量就是Nt+1=N0λt+1。那么第t+1年的增长率为（Nt+1-Nt）/ Nt= （N0λt+1-N0λt）/N0λt=（λt+1-λt）/ λt=λ-1。由此可见“J”型曲线的增长率是一个不随时间的变化而变化的恒定的值，即λ-1，由于“J”型曲线表示种群数量总是不断增长的，所以λ-1＞0，即λ＞1，并非大于0。

6.限制酶对DNA分子的切割与几何中的点、线段、圆

限制酶是基因工程中一类主要的工具酶，其主要作用是对DNA片段中特定的核苷酸序列之间的磷酸二酯键进行切割，以产生不同的黏性末端。考试中常以“一个DNA分子链上有n个限制酶的酶切位点，经彻底酶促反应后可以得到多少个小的片段”的题目进行考查，这类题目如果能把DNA链视作一条线段，若干个酶切位点就好比线段上对应的n个点，那么这n个点就可以把线段分成n+1个小线段；有时候试题会把DNA链换成具有n个酶切位点的质粒，考查酶切反应，那样可以把环状的质粒看成一个圆，该圆上具有n个点，从而将圆分割成n段弧（如图4）。这样利用几何模型的转换可以把抽象的DNA转化成学生熟悉的几何图像，运用初中学习的数学知识就可以很好地理解抽象的生物学知识。

图4

对于生物教学上的难题如果教师只是盯着生物问题本身来给学生反复讲解，可能学生仍然云里雾里，不得其解，正所谓“不识庐山真面目，只缘身在此山中”；而古语云：“他山之石可以攻玉”，如果教师偶尔跳出生物圈子，用跨学科（如数学）的思维来给学生解释，往往会收到事半功倍的教学效果。