给学生一双数学的眼睛

袁威

荷兰数学家弗赖登塔尔说：“学习数学的唯一正确方法是实行再创造，也就是由学生把本人要学习的东西自己去发现或创造出来；教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造工作，而不是把现成的知识灌输给学生。”数学课堂上，与其竭尽全力关注学生知识技能的传授、策略方法的获取，还不如讓学生练就一双数学的眼睛，自己去探寻数学的奥秘，学会从数学的角度观察世界，认识世界。

敏锐之眼——发现数学知识的形成过程

数学知识的产生、发展和应用过程是一个活动的过程，是一个和实践具体相结合的过程，其中不仅有步骤、有方法，还有宝贵的经验，到处充满了智慧。比如关于三等分角问题的发展，这里面不仅有古代数学家创造的步骤、方法等，还有古代数学家积累起来的关于此问题的丰富经验，如这个问题是不是可以解，什么情况下可以解，什么情况下又不可以解，解的时候必需什么工具，它和其他两个希腊几何难题有什么关系，它是如何促进现代数学发展的，等等。学生学习时，要知其然更要知其所以然。因此，在教学过程中，教师要引导学生通过对具体事物的感知，自主观察分析、抽象概括，自觉获取事物的本质属性和规律，从而构建新的概念。

例如，许多老师认为，“平面向量的实际背景及基本概念”一节概念多但不难理解，但章建跃老师等认为其实不然。事实上，从概念的形成的角度看，本节内容重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是获得数学研究对象、认识数学新对象的基本方法，蕴含了用数学的观点刻画和研究现实事物的方法和途径，这是一个带有本源性质的过程。这里，为了帮助学生建立向量的概念，与数、形的相关概念（数及其运算、直线（段）的平行关系等）类比与联系是值得重视的。在学生的已有经验中，与本节内容相关的有：数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、数的相等、0和1的特殊性、线段的平行或共线等，这些将为学生自觉、有序、有效地认知向量概念提供固着点。因此，具体教学时，要设计一个能让学生开展概括活动的过程，引导他们经历从具体事例（位移、力、速度等）中领悟向量概念的本质特征，类比数的概念获得向量概念的定义及表示，类比数的集合认识向量的集合，类比直线（段）的基本关系认识向量的基本关系。通过这样的过程，学生从中体会到认识一个数学概念的基本套路：从具体背景中抽象出共同本质特征—定义—表示—定义“相等”“单位元”“0元”—某些特殊关系。这样学生在获得概念的同时，还培养了抽象概括能力和创新精神，同时也使学生从被动地听发展成为主动地获取和体验数学概念，自主建构知识。

智慧之眼——探寻数学思想方法之所在

数学思想方法往往隐含于数学基础知识之中，渗透在学生获得知识和解决问题的过程中。如果能有效地引导学生经历知识形成的过程，让学生在观察、分析、概括的过程中，看到知识背后承载的方法、蕴含的思想，那么，学生所掌握的知识才是鲜活的、可迁移的，学生的数学素养才能得到发展。

例如，在“对数函数的图像和性质”一节的教学中，教师可以类比指数函数的图像和性质，课堂进程环环相扣，引导学生感知、领悟分类讨论和类比的思想方法，给学生提供充分的活动机会，帮助他们自主探索、合作交流，从而得出对数函数的图像和性质。这样，学生从中捕捉到了数学思想方法的火花，并深入他们的内心世界。

（作者单位：岳阳县第三中学）