“平行四边形和梯形的认识”教学研究报告

一、问题

“平行四边形和梯形的认识”是人教版数学教材四年级上册的一节“形概念”课。在本内容教学前，学生已经学习了长方形、正方形的概念，初步认识了四边形，能识别一些平行四边形和梯形，在本单元中还认识了“平行”与“垂直”这两个直线间的位置关系。这些知识为学习平行四边形和梯形的概念积累了丰富的经验，提供了必要的基础。

1.教学中存在的问题

学生对平行四边形的认识仅仅停留在模糊的表象上，并不知道概念的本质，更不会对图形进行判断、推理和论证。比如，学生认识图1中①号图形是菱形，但并不确定它也是一个平行四边形，对于图1中②号图形这种两腰往同一方向倾斜不同角度的梯形，学生很容易凭经验认为是平行四边形或者只是一般的四边形。这说明学生的几何思维水平处于直观化阶段，没有从图形的本质特征（概念）去认识图形，且学生对倾斜角度的“量感”表现也参差不齐，故而常常做出错误的判断。

2.对问题的分析及解决策略

平行概念是认识平行四边形和梯形概念的基础，学生对于判断两条直线是否平行已经有了基本的经验，可当两条直线变成四边形中的四条线段时，学生很难从边的位置关系的视角去判断一个图形是否为平行四边形或梯形。即使是长方形和正方形，学生更多的是从直角和边的长度两个视角进行判断。因此，借助平行线这个工具，或许能帮助学生突破这一认知的难点。

长方形、正方形、平行四边形（菱形）、梯形等特殊四边形概念散点分布在不同时段的教材中，导致学生对四边形这一知识体系往往缺乏整体的认识。因此，学习了平行四边形和梯形的概念之后，把新的概念纳入到旧概念的系统中是学生数学思维发展的必要环节。

同时，我们发现，大部分学生对平面图形的认识还是静态的、固化的，让静态的图形“动”起来，培养学生的结构化思维也是本课的一个发展点。当长方形的两条长边收缩变短到等于短边时，长方形就变成正方形；当平行四边形的一组对边朝同一个方向旋转至与另一组对边垂直时，平行四边形就变成长方形；当梯形的一条底边收缩变短为0时，梯形就变成三角形；当梯形的一条腰旋转至与另一条腰平行时，梯形就变成平行四边形……这些变化非常有趣，借助电脑轻而易举就能实现。

二、实践

1.“开放导入”片段：在动态中聚焦概念

教师在黑板上画了一组平行线，以这组平行线为参照画了一些图形（如图2），问学生是不是都认识。

生1：这些图形是长方形、正方形、平行四边形、梯形……

生2：都是四边形。

师：在四边形里，我们已经研究过长方形和正方形，大家知道它们有些什么特点吗？（学生回顾长方形、正方形的特点）今天我们继续认识另外两类四边形———平行四边形和梯形。

【设计意图】把平面图形置于一组平行线间，让学生从边的位置关系的视角聚焦平行四边形和梯形。

2.“核心推进”片段一：在分类中生成概念

师：请同学们仔细观察下面这些四边形（如图3），把它们按边的位置關系分一分类。

生：可分成三类，第一类是①⑥⑦，第二类是③④⑤，第三类是②⑧。

师：（指着第一类图形）这些图形有什么特点？

生3：它们相对的两条边互相平行，都是平行四边形。

师：我们就说有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（板书）那第二类图形呢？

生4：这组图形只有一组相对的边互相平行，这些都是梯形。

师：我们就说只有一组对边互相平行的四边形是梯形。（板书）那第三类图形呢？

生5：它们没有互相平行的边，就是一般的四边形。

【设计意图】在丰富表象的基础上，学生按边的位置关系对图形进行分类，在经历、体验中逐步抽象、概括出平行四边形和梯形的概念。

师：下列这些图形（如图4）中，判断哪些是平行四边形，哪些是梯形，并说说理由。

学生抓住边的位置关系进行判断，特别是⑦号图形，两腰虽然往同一方向倾斜，形似平行四边形，但只有一组对边互相平行，由此判断是梯形。教师适时引导：对图形作判断时，不能光靠眼力，要抓住图形的本质特征。

教师结合图⑧⑨提问：“能不能说成是平行四边形？为什么？那为什么又要叫做长方形和正方形？”学生在问题思考中体会平行四边形和长方形、正方形的包含关系。

【设计意图】学生对易错图形进行辨别归类，经历从一般到特殊的过程，加深对平行四边形和梯形本质特征的认识。

3.“核心推进”片段二：在梳理中深化概念

师：我现在把所有的长方形集合到这个圈里，那么正方形在哪集合呢？为什么？

生：正方形在集合圈里面集合，因为正方形是特殊的长方形。

师：现在我想把四边形家族全部集合到这个大圈（如图5）中，那长方形、正方形、平行四边形、梯形该集合在哪里呢？

学生独立解决问题。教师收集学生的错例进行讨论，比如平行四边形里包含了梯形的，平行四边形里没有包含长方形和正方形的。在对错例的辨析中，学生沟通各图形之间的关系，强化各图形的本质特征。

师：大家给这些图形都找到了位置，那②⑧这两个一般四边形的位置在哪呢？

生：在图中其他空余部分。

【设计意图】学生借助集合图理清各图形之间的关系，将所学的新概念纳入到原有的认知结构中，培养类比能力。

师：数学书下藏着一个四边形（如图6），猜猜可能是什么图形？

生：可能是长方形、正方形、平行四边形、梯形。

师：一般四边形也有可能吧？

生6：不可能，因为已经有一组对边平行。

教师将书本移动成图7所示的情形。

生：可能是长方形、平行四边形、梯形。

师：你们为什么就排除了正方形？

生7：我看到长和宽不相等了。

教师将书本移动成图8所示的情形。生：可能是平行四边形和梯形。

师：怎么长方形也不猜了？

生8：我发现有一个角不是直角了。

教师将书本移动成图9所示的情形。生：是梯形。

师：怎么现在这么肯定是梯形啦？

生9：只有一组对边互相平行的四边形是梯形。

师：这些四边形既有联系又有区别，抓住它们的本质特征就能快速做出准确判断。

【设计意图】学生经历应用概念作判断和推理的过程，加深对图形本质特征的认识，建构正确、清晰、完整的数学概念。

4.“核心推进”片段三：在操作中沟通概念

师：在梯形上画一笔，把它分成两个图形，使其中有一个是平行四边形。试着画一画。

学生动手画，教师呈现学生不同的画法（如图10所示）。

师：添这一笔要注意什么？

生：梯形中已经有一组对边平行了，而平行四边形是两组对边分别平行的，所以添這一笔的时候要创造另一组相互平行的边。

【设计意图】学生通过一笔改图形，在动态变化中深化对平行四边形和梯形概念的认识；对不同的添法进行“异中求同”的思辨，进一步明确两个概念的本质区别。

师：请同学们打开word文档，点击“插入”“形状”，画一个“梯形”或“平行四边形”，水平拖动控制符，看有什么发现。

生10：我画了一个梯形，当我选定下底，向左右两边同时水平拖动控制符时，可以把梯形变成长方形；向右边水平拖动控制符时，梯形的下底越来越小，最后变成0时，这个梯形就变成了三角形（如图11所示）。

生11：我画了一个平行四边形，选定上面这条边向左水平拖动控制符，两条斜的边渐渐与两条水平的边垂直，最后这个图形也可以变成长方形（如图12所示）。

【设计意图】学生通过常用的工具感受图形之间的变化，并从边的长短和位置关系两方面关注图形的特点，同时感受事物间相互转化的原理。

5.“开放延伸”片段：在回顾中总结方法

师：同学们，我们一起回顾今天我们是怎样认识平行四边形和梯形的。

生：先把四边形分一分，找到同类图形边的特点，再给它们起名字，最后用集合图理清它们之间的关系。

师：分一分→起名字→理关系，以后我们还可以用类似的方法去研究更多的图形。

【设计意图】引导学生梳理学习方法，由概念的获得延伸到研究方法的习得，体现本节课更高层次的育人目标。

三、讨论

1.怎样让学生触摸本质，实现生活经验向数学本质提升？

学生在生活中积累了大量的生活经验，但这些经验带有一定的片面性。教师既要充分利用学生已有的感性经验帮助学生加深对基本概念的理解，又要引导他们区分日常定义和科学概念的异同，实现从生活经验向数学本质的提升。

在本课教学中，概念的形成分两步：第一步，按边的位置关系将四边形进行分类，再聚类分析平行四边形、梯形，在大小、形状不同的图形中找到它们的共同点，从而聚焦边的位置关系形成概念。第二步，概念形成后，呈现图形进行说理判断，针对易错梯形和特殊图形（长方形、正方形）进行辨析，既帮助学生掌握梯形和平行四边形的本质区别，又凸显了两个概念的本质，使学生的感性经验提升到对数学本质的认识上。

2.怎样帮助学生理清四边形之间的关系？

数学教学中往往需要沟通知识间的联系，帮助学生加深对概念的理解。在四边形关系中，既有平行四边形和梯形两个概念之间的并列关系，又有平行四边形和正方形、长方形三个概念之间的包含关系。为了帮助学生理清四边形之间的关系，教师首先在判断说理中明确长方形和正方形都是平行四边形，再以正方形和长方形的特殊关系为铺垫，引导学生发现平行四边形和长方形、正方形之间的特殊关系，并且用集合图表达。设计的“猜图形”活动，学生从多种可能到排除某个图形，再到确定图形，在动态变化中加深了对图形概念的理解。由于沟通了四边形之间的联系，学生顺利地突破认知上的难点，建立了清晰的概念关系，从而建构完整的四边形概念体系。

3.作为一节“形概念”课，能否挖掘更深层次的价值？

“图形与几何”领域对于小学生空间观念的形成和发展具有重要作用。作为一节“形概念”課，在平行四边形与梯形的认识之后，还有三角形的认识、圆的认识以及圆柱圆锥等立体图形的认识，这节课能为后续的“形概念”课带去什么？我们认为一节课最有价值的不在于承载了多少知识内容，而是教给学生一些探究方法，让他们利用这样的方法自主开展新的学习。于是，教师通过回顾研究的过程，帮助学生梳理出学习的方法结构：分一分→起名字→理关系，为他们后续迁移方法学习“形概念”奠定基础。

4.小学阶段空间与图形领域的概念课该如何把握？

小学数学教材中编排的图形概念，因学生的学段特点、理解能力以及概念本身的难易程度等不同而表现形式各有不同，主要以描述式和定义式为主。图形概念的学习要遵循由表象到具体，由静态到动态的过程。教材最先安排的是立体图形的认识，这时的学生思维以直观思维为主，概念也是描述式的。教学时，只要学生能认识相应的图形即可，不需要严格表述。教师应调动学生的视觉、触觉等多种感官参与。随后认识的长方形和正方形是一类特殊的四边形，在概念表述上仍然是描述式。但概念的生成要经历从实际物体中抽象出几何图形的过程，还应辅以更多动手操作的过程（如量、折、画等），让学生从“边”与“角”的角度入手，培养空间观念。平行四边形与梯形的概念是定义式，教学时便要紧扣概念的内涵生成概念、理解概念，同时又要在它们的外延中忽略图形“长相”的差异。比如，一个平行四边形看起来是长长的还是扁扁的，正着摆还是斜着摆，都是可以忽略的差异，我们只关心它的两组对边是否分别平行。前文中两腰向同一个方向倾斜的梯形，尽管长得不像“梯子”状，但只要它是“（有且）只有一组对边平行的四边形”，就是梯形。【本文系湖南省教育学会“十三五”立项课题“基于核心素养的‘种子课程开发与应用研究”（编号：B-53）研究成果】

（执笔：何亩文、李慧玲、徐旺、李闯）