与学生一起“玩”数学——“汉诺塔的奥秘”教学实录与思考

□ 蔡建华

“汉诺塔问题”源于印度的一个古老传说：开天辟地的神在一个庙里留下了三根金刚石柱子，最左边的柱子上从下往上、由大到小依次叠放着64个圆形金片，庙里的僧侣遵照神的旨意，按照规定的方法：一次只能搬动一个金片，不管在哪根柱子上，小金片必须在大金片的上面，把金片从最左边的柱子全部搬到最右边的柱子上。神预言说，当64个金片全部都搬到最右边柱子上时，世界就将在一声霹雳中毁于一旦。

传说显然并不可信，不过假如从数学教学的视角，将传说中的数学元素改造成综合实践课的教学活动，孩子们能否经历一次真正的数学探索之旅，感受到数学的好玩之处呢？

【教学目标】

1.在问题情境中理解规则，同伴互助，体验基本的数学方法和策略，感悟数学思想。

2.在数学综合实践活动中体验“数学好玩”。

【教学实录】

一、故事引路

师：今天我要给小朋友们讲一个故事，并根据故事来玩游戏，想听吗？（播放视频“汉诺塔的传说”）

师：听明白了吗？传说中64个金片按照规则究竟能不能都搬到第三根柱子上呢？如果能，怎么搬？今天这节课我们一起来探索“汉诺塔的奥秘”。（板书课题）

二、理解规则

师：首先，我们一起来熟悉一下汉诺塔移动的规则。（出示汉诺塔玩具，用圆圈代替金片，课件呈现规则）

三、探索规律

（一）动脑

师：你们打算怎样玩？

生1：我觉得可以先拿少一点的圆圈来试一试。

师：传说中汉诺塔有64个金片，你打算拿多少个试一试？

生2：16个。

生3：8个。

……

生4：1个。

师：在生活和学习中，我们经常会遇到一些复杂的问题，一下子很难解决，可以先降低难度，把复杂的问题变得简单一些。从最简单的开始，这可是解决问题的一个很有用的策略。（板书：从最简单的开始）

师：很显然，移动1个圆圈是最简单的，一步就能把这个圈移到第三根柱子上（如下图）。

师：接下来你想试着移几个圈？大家先想象一下，再说一说你是怎么移的，移了几次，好吗？

生：移2个圈，需要移动3次。先把小圈移到第二根柱子，再把大圈移到第三根柱子上，最后把小圈也移到第三根柱子上（如下图）。

师：真好！想得清楚，说得明白！

（二）动手

师：接下来，我们试试移动3个圈。还是先想象，感觉怎么样？是不是有点困难？那就动手来做一做吧。（出示1号活动单，组织学生开展分组活动）

1号活动单：4人小组合作，把3个圈从第一根柱子移动到第三根柱子上，最少要多少步？想办法记录下你们移动的过程：（ ）。

师：最少需要几步完成？大家都用了7步，说一说你们是怎样移动的？

生1：先把小圈移到第三根柱子上，再把中圈移到第二根柱子上，再把小圈移到第二根柱子上，再把大圈移到第三根柱子上，再把小圈移到第一根柱子上，再把中圈移到第三根柱子上，最后把小圈移到第三根柱子上。

师：生1是这样记录他们的移动过程的，有没有与他不一样的记录方法？

（用实物展台呈现第二小组的活动记录）

师：请大家仔细看，到后面他们的写法怎么变了呢？请第二小组的同学解释一下这样记录的意思，好吗？

生2：“大”表示最大的圈，“3”表示的是第三根柱子，“大→3”的意思是把大圈移到第三根柱子上……

师：这样的记录方法与刚才生1全都用文字记录相比,哪个好？好在哪儿？

生3：生2的好，简洁。

生4：这样记简单。

师：是啊，第二小组的记录方法简洁明了，想办法把复杂的事情做简单不正是数学所要追求的目标吗？当然了，仅仅简洁还不够，还要设法让别人能看懂，方便彼此间的交流。现在，我们统一约定记录的规则，把3个圈从小到大顺次编号为1、2、3，三根柱子编号为A、B、C，那么，把最小的圈移到第三根柱子上就可以记作“1→C”。用我们统一约定的这种编码方法，移动3个圈的过程可以怎样记录呢？

（师生共同整理，形成板书：1→C，2→B，1→B，3→C，1→A，2→C，1→C）

（三）明理

师：汉诺塔好玩吗？大家喜欢吗？下面我们接着玩，该玩几个圈了？

生：4个圈！（学生们跃跃欲试）

师：别总是忙着动手做，会动手更要会动脑。现在我想请大家先不动手，先动动脑筋，预测一下，移动4个圈到C柱共需要多少步？

生1：13步。

生2：我也认为是13步。

师：你们是根据什么预测13步的呢？

生1：刚才我们移动1个圈要1步，移动2个圈要3步，移动3个圈要7步，从1到3增加了2步,从3到7增加了4步,我猜移动4个圈要增加6步,所以我预测需要13步。（大部分学生表示赞成）

生3：我预测要15步。因为1×2+1=3，3×2+1=7，7×2+1=15，所以我猜移动4个圈共要15步。（很多学生露出困惑的神情）

……

师：大家的预测都是根据前面已有的结果做出的，我们根据已有的事实呈现的规律而做出的预测，都是有价值的。那么，事实上到底是需要13步还是15步呢？（出示2号活动单，组织学生分组活动）

2号活动单：

①猜一猜，移动4个圈需要多少步？

②做一做，你们的预测对吗？

③议一议，根据所记录的移动过程，移动4个圈所需的步数与移动3个圈所需的步数有怎样的关系？

师：刚才的活动大家完成得很好！大多数小组的结果是15步，现在请看第三小组的活动记录，我们一起来检验一下是否正确。

（师生共同操作验证）

师：现在我们知道了，移动4个圈需要15步，而不是13步。为什么是15步呢？15与前面的1、3、7有怎样的关系？我们再回顾一下移动的过程，你们认为哪一步是最关键的？

（呈现移动的步骤：1→B，2→C，1→C，3→B，1→A，2→B，1→B,4→C,1→C，2→A，1→A，3→C，1→B，2→C，1→C）

生1：我们小组认为第1步最关键，最小的圈是移动到B柱还是C柱，结果完全不一样。

师：只有1个圈时，我们是把那1个圈直接移到C柱的，移动2个圈时最上面的小圈是先移到B柱的，移动3个圈时最小的圈先移到C柱，移动4个圈时最小的圈又是先移到B柱，请看表格，这里有什么规律吗？

生2：圈的总个数是奇数的，1号圈就先移到C；圈的总个数是偶数的，1号圈先移到B。

师：如果按照这个规律，移动5个圈的时候，1号圈要移到C柱了，是不是呢？我们下面还需要进一步验证。我们继续讨论，你认为移动过程中的哪一步是最关键的？

生3：我认为最关键的是第8步，因为这一步是把最大的圈移到C柱上去，其他的就不难了。

师：第8步是“4→C”，在此之前，从初始状态到把1、2、3号圈都移动到B柱上，需要几步？你是怎么知道的？第8步之后再到全部完成，还需要几步？（结合讨论和记录，出示下图）

师：现在，大家是否明白了15步与前面移动3个圈所需要的7步之间的联系了呢？首先，需要用7步把1、2、3号圈移到B柱，再用1步“4→C”把最大的圈移到C柱，接着还需要7步将1、2、3号圈移到C柱，也就是说，我们移动4个圈的过程是在前面移动3个圈的基础上完成的，可以分成三个阶段，用算式可以表示成15=7+1+7。

师：按照这样的规律，移动5个圈需要多少步？

生：需要31步，15×2+1=31。

师：下面请各小组合作，验证一下，移动5个圈是不是需要31步，看看刚才我们的研究结果是否正确？（学生分组活动）

四、解决问题

（出示3号活动单）

3号活动单：想一想“汉诺塔”的64个金片能从A柱移到C柱吗？请说明理由。

生1：能！64个金片从A柱移到C柱的前提条件是把上面的63个金片先移到B柱，而63个金片移到B柱的前提条件是62个金片移到C柱……这样倒推着想，64个金片是可以从A柱移到C柱的。

师：那么，全部完成要多少步呢？把我们已经得到的这些数据1、3、7、15、31分别加上1，就能得到2、4、8、16、32，这些数都是由若干个2连乘得到的，根据这个规律，全部完成“汉诺塔”金片移动所需的总步数就是64个2连乘的结果减去1，数学上写成“264－1”，结果是18446744073709551615步！（学生们发出阵阵惊呼）

这个数有多大呢？我们假设每移动一个圈需要1秒钟，那么，移完64个金片需要18446744073709551615秒，换算一下，大约需要5845.54亿年！这是谁也不可能完成的！

【课后反响】

课后，学生们写的日记让教师感触良多。

朱晓茜：同学们无一不被这个传说迷住了，我也不例外。

倪陈炜：所需的步数竟是个20位数，我异常震惊，嘴张得老大老大，似乎能塞下一个鸡蛋。

曹丁丁：这节别开生面的数学课教会了我许多，使我不能忘怀。“汉诺塔”告诉我数学也能是好玩的。

周致行：快乐的时光总是短暂。数学竟如此好玩，如此有趣，我不禁爱上了它。

王乐涵：这节课让我在玩中学，在学中玩。数学，真有趣儿！

洪若煊：在玩中，我们得到了知识，懂得了数学。

褚徐然：汉诺塔的奥秘在这节课中被迎刃而解，我们也受益匪浅，原来也有这么有趣、好玩的数学啊！

钱宝仪：通过这堂课，我体会到了数学的奇妙、有趣，再也不会觉得数学很枯燥、很单一了。

……

透过学生日记的字里行间，我们不难发现，孩子们所希望遇见的数学课的样子：“被迷住”“震惊”“有趣”“好玩”……

当然，数学好玩不只是外在形式的好玩，其根本是能体会到数学思维的乐趣，因此，必须要带领学生经历真实的数学活动，“大胆假设，小心求证”，由表及里，探究本质。唯如此，方能体会《桃花源记》所言，“山有小口，仿佛若有光。初极狭，才通人。复行数十步，豁然开朗”。豁然开朗之感，不就是学习数学获得的成功感和满足感吗？

再细读，“数学也能是好玩的”“原来也有这么有趣、好玩的数学啊”，那几个“也”字不时地刺痛我们的双眼——学生们正在经历着的数学课好玩吗？

一、数学好玩吗

好玩或不好玩其实是个人的主观感受，并没有绝对的标准。如果一个人喜欢数学并且能体会到数学的乐趣，当然就会认为数学是好玩的。可惜不是人人都能体会到数学的好玩，很多人不喜欢数学，是因为数学给他们留下的是痛苦的体验：冰冷的符号、繁难偏怪的习题、晦涩抽象的规则……他们从未感受到数学真正的魅力，所以在他们记忆中的数学自然是不好玩的。罗格斯大学的Diane Ma⁃clagan教授就曾被问道：“作为一名数学家，你觉得在工作中哪个环节是最困难的？”她不假思索地回答道：“证明定理这一环节最难。”“那么哪个环节是最有趣的？”记者接着问道。“还是证明定理。”她回答道。证明定理在Diane Maclagan教授看来，既是最困难的，又是最有趣的。

因此，我们在教学的语境中讨论数学好不好玩，实质上是在讨论“怎样让小学生感受到数学的好玩”。

二、好玩能否作为数学教学的追求

我国的文化传统崇尚勤学苦读，悬梁刺股、韦编三绝、囊萤映雪即是例证。《三字经》有言，“勤有功，戏无益，戒之哉，宜勉力”，意指勤奋学习会有所成就，嬉戏玩耍没一点好处，由此可见“玩”在古代教育典籍中是遭到唾弃，不登大雅之堂的。

众所周知，数学的抽象概括性与小学生以形象思维为主的特点构成了数学教学的一对矛盾。要化解这对矛盾，不能仅仅照搬文科学习常用的“勤学苦读”，还要设法让抽象的数学转化成学生乐于参与的活动，让数学学习活动变得鲜活有趣，更有吸引力。

玩是儿童的天性，只有被好玩的事物吸引，儿童才会沉浸其中，乐此不疲。兴趣是学习动机中最现实、最活跃的心理成分，它既是小学生学习数学的需要，也是他们学好数学的强大动力，小学生的年龄特点决定了他们的学习行为要由兴趣主导。大量的教育实践已经证实兴趣在学习中的巨大作用，我们要做的是设法把好玩的数学带进课堂，让“冰冷的”数学知识转化为“有温度”的教学活动。

三、好玩的数学从何而来

项武义先生在第四届苏步青数学教育奖颁奖大会的演讲中提出，“基础数学教育之本质与精要是精简实用、平实近人、引人入胜”。这三个词或许可作为“好玩的数学”的三个要素。精简实用，好玩的数学要追求“以简御繁”，“简中求道”，把人人能懂、处处有用的数学带进课堂。平实近人，要用适合学生认知水平的数学教学材料吸引学生，张奠宙先生说过，“教师的任务是把知识的学术形态转化为教育形态”，教育形态的数学知识才能发挥出数学的育人价值。引人入胜，数学学科内在本质只有与课堂外在形式的完美结合，数学课才能够吸引学生。学生被数学吸引才有可能喜欢上数学，喜欢数学才有可能学好数学。