点、线、面的认识及其教学

◇胡重光 许建刚

当代最伟大的数学家之一阿蒂亚说，一个新思想最有意义的部分，常常不在那些最一般的深刻定理之中，而往往寓于最简单的例子、最原始的定义及最初的一些结果中。点、线、面是最原始的几何概念，按照上述思想，对它们的教学不能掉以轻心，这三个概念中也确实蕴含着深刻的数学哲理。

数学概念教学的前提是，教师自己要对概念有正确的、深刻的理解。点、线、面是组成几何图形的基本元素，又是三个令人困惑的概念。点无大小，线无粗细，面无厚薄，并且都涉及无限的概念，显得非常抽象。教材中说，一根拉紧的线、绷紧的弦，都可以看作线段。但是这两种实物不管多细，都是有粗细的。教师在黑板上画的线，虽然很粗，却也叫线段。

“看作”一词，《现代汉语规范词典》的解释是“看成”“当作”的意思。也就是说，拉紧的线、绷紧的弦就是线段。这样一来，线段就是实物了。这与数学的研究对象的性质是不符的。

数学的研究对象与生物、物理、化学等自然科学的研究对象有根本的不同，后者是自然界中客观存在的实体，前者则是人类的主观创造。例如，数并不存在于自然界中，而是人类发明的。点、线、面也是人类的主观概念，而非自然界的客观实体。学术界现在已经明确地将数学从自然科学中分离出来，主要原因之一就在于此。

但是数学概念又是来自于客观世界的。例如，数是在人类长期对客观事物的计数和排序活动中形成的。远古的人类用打结或刻痕的方法记录日期和其他有关事物，久而久之就形成了自然数的概念。

形的概念也来自于客观世界。我们周围的物体都占据有限的空间，有不同的形状、大小、材质、颜色、硬度等，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，就抽象出各种各样的空间图形，这些图形叫空间几何体，如长方体、球、圆柱等。由此看来，儿童首先形成的是空间几何体的概念，而不是二维或一维图形的概念。所以，现在小学已改变了传统的先学一维图形再学二维图形，最后学三维图形的顺序，而是先学习几何体。

那么，点、线、面又是怎样从客观世界中抽象出来的呢？

几何体都有表面，由这些表面就抽象出了几何中的面。例如，长方体有6个面，每个面都是长方形。由不同的体我们得到不同的面。这样得到的面是“实心”的，而不是一个“框”。以前初中几何中圆的定义是“到定点的距离等于定长的点的轨迹”，这一定义其实是圆周的定义。苏联数学家柯尔莫哥洛夫主编的中学几何教材将其改为“到定点的距离小于或等于定长的点的集合叫作圆”，这样定义的圆就是“实心”的。面为什么没有厚度呢？《几何原本》中指出，面是体的界，这个“界”是没有厚度的。

长方形、三角形、圆这些面是有边界的，它们的边界就是线。这种边界没有宽度也没有厚度，所以线没有粗细。

点则是线的界。线段和射线都有端点，端点就是它们的界。线没有粗细，它们的端点也就没有大小。

点、线、面的概念还涉及无限。点是无穷小的，射线可以向一端无限延长，直线可以向两端无限延长，平面可以向各个方向（同一平面内）无限延伸。自然界中看不到无限，数学中为什么要引入无限的概念呢？

道理其实很简单：数学需要无限。数轴上任意两点之间有无穷多个点，这些点自然应该无穷小；要表示方向或把自然数在数轴上表示出来，就需要一端可以无限延长的射线；要把整数在数轴上表示出来，就需要两端可以无限延长的直线；要把实数对在坐标平面上表示出来，就需要可以向各个方向（同一平面内）无限延伸的平面。这些概念是数学研究必不可少的工具。

这样定义的概念是看不见的，是无形的。无形的概念的应用是十分有限的，例如，如果我们没有发明0到9这10个数字并用它们表示数，数的绝大多数功能将无法体现。0到9这10个数字是数的符号，用这些符号可以组成任何一个整数。表示形也需要符号，点、线、面就是形的符号，用这些符号可以组成任何几何图形，于是抽象的形，就成为可见的符号的组合。几何图形是象形的，但我们不要忘记它们只是符号，所以线画宽一点或窄一点是没有关系的，它们都代表没有粗细的线。就像数字一样，一个“1”不管你写得多大，它都只代表一个事物。只有规定线没有粗细，线的符号才具有使用价值，否则教师用粉笔画的长方形与学生用铅笔画的同样尺寸的长方形，面积就会不相等。点和面也有类似的问题。我们画一个平面图形，通常只画出它的边界，这时不要忘记，边界围住的部分是充满点的。

点、线、面概念教学的关键是使儿童理解其抽象性，消除神秘感。怎样做到这一点呢？其实，自然数概念的教学已经给了我们启示。自然数也是一个非常抽象的概念，数学史上曾长期不能给自然数下一个定义，直到集合论诞生后，才给出了一个作为基数的自然数的定义：表示一类有限等价集合的共同性质的符号。这一定义无疑是非常抽象的，很不好理解。但是儿童并不感到数抽象，原因是他们到处都能看到数的各种用处，并且自己经常使用它。

从上面的分析可以得知，教学这些抽象的概念的一个基本原则是，我们应该在用到点时教学点、用到线时教学线、用到面时教学面。在教学几何体时，应同时教学面：由长方体得到长方形，由正方体得到正方形，由圆柱得到圆；在教学长方形、正方形时，应同时教学线段和点；在教学角和数轴时，应同时教学射线和直线，因为角的主要功能是表示方向，表示方向必须使用射线，而要在数轴上表示全体整数，这条数轴就必须是两端都可以无限延长的直线。看到这些概念是有用的，学生就不会感到抽象了。

数轴是一个很好的工具，它是数与形之间的一座桥梁。确定了原点、正方向和单位长度后，自然数就可以用数轴上的点表示了。

弗赖登塔尔对数轴十分重视，他认为：“在现代算术教学法中，数轴是借用于现代数学的最有价值的工具。”“算术教学一开始就应该使用数轴。”因为“在各种不同水平的教学中，量的模型是十分重要的”“最常见的量的模型是长度，它在无限的尺——数轴上实现了高度的具体化”。他详细地指出了数轴在教学中的具体运用：“数轴像一把尺，数轴上的点可以固定不变地被看作实数，这在教学法上有很大的优点。”我们可以“利用数轴对算术四则运算进行形象的解释，数的加、减能解释为数轴上点的移动和反射；其乘、除能解释为数轴上单位的放大和缩小，计算规则显得清晰、直观”。

美国的小学数学在一年级就安排了数轴，每学习一种新的数就在数轴上表示出来，并用数轴来学习运算和解释运算定律。数轴的运用是贯穿始终的。我国的小学数学一般到六年级讲负数时才引入数轴，并且没有使用“数轴”这个名称。在整个小学数学中，这是唯一以直线为研究工具的地方（对称轴是直线，但教材中没有指出来，并且画的是虚线。这是令人遗憾的）。