带阻尼的非等熵欧拉方程组的爆破*

董建伟，杨永

(郑州航空工业管理学院理学院，河南 郑州 450015)

本文考虑带阻尼的非等熵欧拉方程组的初边值问题：

ρt+div(ρu)=0

(1)

ρut+ρu·▽u+▽ρ=-αρu

(2)

St+u·▽S=00

(3)

(4)

u·n||x|=1=0

(5)

本文的主要目的是将文献[11]中的一个结果推广到非等熵情形，并在没有γ≤3的限制条件下讨论η(0)<0情形的爆破，这也是对文献[15]中结果的一个改进。

1 非负初始熵情形

(6)

我们还需要如下记号：

B(t)={x∈R3:1≤|x|≤R+σt}，

(7)

(8)

(9)

则由文献[14]中的(2.1a)，(2.1b)式知

m(t)=m(0)，η(t)=η(0)，

0

(10)

F(0)>

(11)

则T是有限的。

证明由文献[11]中的(6)式知

F′(t)+αF(t)≥

(12)

由Jensen不等式，(8)式，(10)式及η(0)≥0得

(13)

所以

(14)

从而由(12)式，(14)式，得

(15)

另一方面，由文献[11]中的(8)式知

(16)

所以由(15)式，(16)式得

(17)

定义G(t)=eαtF(t)，在(17)式两边同乘以eαt，得

(18)

因此G(t)是一个递增函数，由条件G(0)=F(0)>0知只要G(t)存在，则G(t)>0。(18)式两边同除以G2(t)并在[0,t]上积分，得

(19)

所以(19)式中的时间t必须是有限的，从而T是有限的。

2 负初始熵情形

F(0)>

(20)

证明由文献[15]中定理2的证明知

(21)

其中

(22)

且

(23)

由g(t)在[0,+∞)上连续及(23)式知g(t)在[0,+∞)上有界，再由确界原理知g(t)在[0,+∞)上有下确界，设

(24)

(25)

由(12)式，(25)式，得

(26)

再由(16)式，(26)式，得

F′(t)+αF(t)≥

(27)

定义G(t)=eαtF(t)，在(27)式两边同乘以eαt，得

(28)

所以对任何固定的k∈(0,1)，0≤t≤τ，有

(29)

由条件(20)式知

(30)

所以由(29)式知G(t)>0递增，且

(31)

(31)式两边同除以G2(t)并在[0,τ]上积分，得

(32)

所以再由条件(20)式知T<τ。