问题驱动 探究思考 促进生长——以“轴对称图形”习题教学为例

孙 凯，陈 锋

（江苏省苏州市阳山实验初级中学；江苏省无锡市太湖格致中学）

数学课堂教学活动实质上是思维活动的教学，是教师以问题驱动学生自主探究，在探究中引发数学思考，在思考中促进学生思维进一步发展的过程.数学课堂教学的实效性有赖于问题的精心设计，“好问题”成就好课堂.在习题教学时，教师要基于对教材习题设计意图的理解，注重挖掘教材习题背后所蕴含的教学价值，创造性地使用教材，设计“好问题”，以问题驱动学生积极主动地参与数学探究活动，引发学生的深度思考，发展学生的数学能力，提升数学素养.本文以苏科版《义务教育教科书·数学》八年级上册（以下统称“教材”）第二章“轴对称图形”的习题教学为例，展示对教材习题跟进问题探究的设计与意图，供同行研讨交流.

一、用动态的视角设计问题探究

教材上提供的习题是以静态的形式呈现的，分析解读习题设计目的是教师的必修课.“用教材教”与“教教材”是我们经常讨论的话题，如何做好“用教材教”是必须重视的课题.在习题教学中，教师要引导学生用动态的视角去观察与思考教材上的习题，要以问题驱动的方式组织学生一起参与有意思的探究之旅，让学生自然生长知识．

例1如图1，在△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G.求△AEG的周长.（选自教材习题2.4第1题.）

图1

解析：由点E，G分别在AB，AC的垂直平分线上，得EA=EB，GA=GC.所以△AEG的周长为AE+EG+AG=BE+EG+GC=BC=7.

此题主要考查学生对线段垂直平分线性质的掌握情况.要解决的问题是求△AEG的周长，学生可以运用转化的方法，获得△AEG的周长等于线段BC的结论，使问题得以解决.

问题探究设计如下.

问题1：如图2，在△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，GE=2，求△AEG的周长.

图2

问题2：如图3，在△ABC中，BC=5，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC的延长线于点E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，GE=6，求△AEG的周长.

图3

图4

问题3：如图4，在△ABC中，BC=3，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC的延长线于点E，AC的垂直平分线交AC于点F，交CB的延长线于点G，GE=8，求△AEG的周长.

问题4：探究图2、图3和图4中，△AEG的周长与BC，GE的数量关系.

问题5：在图1～图4中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G.若∠BAC=n°，求∠GAE的度数.

【设计意图】笔者在观察学生用尺规作图作三角形三边垂直平分线时，发现邻边的两条垂直平分线与第三边的交点有不同的结果，有必要做进一步探究.如图2、图3、图4，在不同的图形中，同样的问题具有很高的探究价值.原题中线段AB，AC的垂直平分线清晰可辨，学生易于发现所求△AGE的周长与BC之间的数量关系.图形变化后，线段出现交叉、复合等现象，给学生的思维活动带来新挑战.在完成相关边长数量关系的探究后，再以“角”的视角去审视图形，自然生成新的数学问题，学生在自主探究中，深刻体会教材习题背后所蕴含的数学价值，激发学生的求知欲，开阔学生的探究视野，使思维之花精彩绽放.

二、用增添的视角丰富问题探究

习题教学中，对原问题或原图形增添一些元素，可以丰富问题探究的内容，增加问题探究的趣味性，引发学生深度学习.

例2如图5，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A，C，E在一条直线上，AD与BE相等吗？证明你的结论.（选自教材习题2.5第10题.）

图5

解析：结论AD=BE.

理由如下：由△ABC，△CDE都是等边三角形，得AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°. 于是∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE.从而得△ACD≌△BCE.所以AD=BE.

此题是在学习等腰三角形的轴对称性后呈现的习题，主要考查学生对等边三角形性质的掌握情况，引导学生根据等腰三角形的性质构造三角形全等，探究线段的数量关系，其中△ACD≌△BCE是探究该类问题的基础.

问题探究设计如下.

问题1：如图6，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A，C，E在一条直线上.

图6

（1）你还能找到全等的三角形吗？写出来并说明理由.

（2）求AD与BE相交时∠APB的度数.

（3）连接FG，判断FG与AE的位置关系，并说明理由.

（4）连接PC，证明PC是∠APE的平分线.

（5）分别在AD与BE上取中点M，N，连接CM，CN，MN，判断△CMN的形状，并说明理由.

问题2：如图7，将△CDE围绕点C顺时针旋转一定的角度，问题1中的哪些结论仍然成立？如果成立，试说明理由.

图7

图8

问题3：如图8，将等边三角形换为等腰直角三角形，你能获得哪些结论？试说明理由.

【设计意图】在研究图5中相关线段和角的数量关系的基础上，问题1增设与某些线段或线段交点有关的问题，探究提出的新图形、新要素，解决新问题.这些问题能充分发挥教材的价值，驱动学生自主探究和思考.问题2引导学生用运动的视角去研究图形，即把图形旋转变化，研究运动变化后的图形中蕴含的形变与量变，揭示图形中某些元素间的本质关系，促进数学思维二次生长.问题3把等边三角形换成等腰直角三角形，教学时也可以引导学生尝试换成正方形、等腰三角形等图形，意在引导学生通过类比的方法发现这一类图形问题的数学本质，以此发现基本规律，达到触类旁通的目的.

三、用串联的视角整合问题探究

例31.在七年级下册“证明”一章的学习中，我们曾做过如下的实验：画∠AOB=90°，并画∠AOB的平分线OC．

（1）把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别与OA，OB相交于点E，F（如图9（1））.度量PE，PF的长度，这两条线段相等吗？

（2）把三角尺绕点P旋转（如图9（2）），PE与PF相等吗？通过实验可以得到PE=PF的结论，现在请你证明这个结论．

图9

2.已知：如图10，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，且AE=CF.求证：DE=DF.

图10

第1题与第2题分别选自教材习题2.4第11题与习题2.5第12题.

第1题再现七年级时学生曾经做过的实验，获得PE=PF的结论，并用已学的数学知识证明结论.学生运用角平分线的性质，构造直角三角形全等，证明结论恒成立.第2题是围绕等腰三角形的有关性质编写的习题，学生会通过证明△AED≌△CFD或△CED≌△BFD来解决问题.

问题探究设计如下.

问题1：在第2题中，DE与DF是否垂直？说明理由.

问题2：在第2题中，若把条件AE=CF更换为∠EDF=90°，其他条件不变，求证：DE=DF.

问题3：如图11，∠AOB=120°，OC是∠AOB的平分线，三角尺60°角的顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条边分别与OA，OB相交于点E，F，PE与PF还相等吗？如果∠AOB=135°，用三角尺45°角的顶点落在OC的任意一点P上，结论是否还成立？你有什么发现？

图11

【设计意图】此例中第2题与第1题有诸多联系，第1题中线段PE与PF间的关系是联系它们的纽带，把两道习题串联在一起，精心设计问题，以求让学生融会贯通、事半功倍.问题1引导学生探究线段数量关系时还应关注线段的位置关系，把握最近发展区，搭建思维的“脚手架”.逆向思考是数学中常用的一种思维方式.问题2与问题1是互逆的，能有效训练学生逆向思考的能力.这与教材上阅读材料“倒过来想”的价值是一致的.问题3是开放性问题，给学生预留足够的探究空间.教学时，教师可以继续追问“当∠AOB与∠EPF满足什么数量关系时，PE=PF？”等问题.学生通过推理、概括、化归等数学方法，得到一些有趣的结论，在提升数学思维能力的同时收获自信.

四、教学反思

1.由静到动，在动态中寻找好问题

著名数学家波利亚曾形象地指出：好问题同种蘑菇类似，它们都成堆生长，找到一个后，你应当在周围找一找，很可能附近有好几个.教材属于纸质媒介，习题的呈现方式只能是静态的形式，这样的静态形式不利于我们研究图形运动变化背后的数学知识.教师要用运动变化的视角寻找习题的潜在价值，充分利用平移、翻折、旋转等运动的方式，从不同角度、不同层次或不同侧面对习题进行开发，设计探究性问题，使问题得以拓展延伸，开阔学生视野，提升学生的数学素养.教师是教材的使用者，更是教材的创造者.习题教学中教师应思考如何寻找问题的生长点，深挖教材，寻找好问题，充分发挥教师的主导作用，驱动学生经历由静到动的问题探究，加深学生对数学知识的理解与掌握.

2.由少到多，在增添中开发好问题

叶圣陶先生说过，教材只能作为教课的依据，要教得好，使学生受益，还得靠教师的善于运用.要做到善于运用教材，教师要做好两方面的工作.一方面，教师要基于习题研究提升问题设计的广度.教师应深入钻研《义务教育数学课程标准（2011年版）》、教材、教师教学用书等文本资源，正确理解教材的编写意图，这是用好教材的基础.教师应整体把握教材上编排的习题，研究习题之间横向和纵向的联系，挖掘习题之间相互关联的潜在教学价值.在进行习题教学设计时，通过增加研究要素把单元化问题探究引向多元化问题探究.注重同一问题情境下由边的求值问题拓展到角的求值问题，由角的求值问题拓展到边的求值问题，由几何图形的形状关系拓展到线段的位置关系，由线段的数量关系拓展到线段和、差关系或图形的面积关系等，以此提升问题设计的广度.另一方面，教师要利用增加研究要素提升问题设计的深度.基于习题的研究比较，发现习题背后相关联的问题，设计具有层次性或开放性的问题.例如，以原习题为背景增加边或角等要素，生成新图形、新视觉、新问题；将原题中的一般条件改为特殊条件，使题目具有特殊性；将原题中的特殊条件改为一般条件，使题目具有一般性等，以此引发学生深度思考、深度学习，使问题探究由“熟”到“透”，实现数学思维的深度发展.

因此，在习题教学时，教师既要遵循教材的编写意图，体现习题的作用与价值，又要善于根据学情与教学的需要，对习题进行创造性处理，精心设计具有追踪性、拓展性和延伸性的问题，提升问题的深度与广度，使学生的探究能力、应变能力和思维能力得到有效训练与发展.

3.由内到外，在深化中挖掘好问题

教材内容的编写既要面向全体学生，又要满足学生的不同需求，使不同的学生在数学上得到不同的发展，还要便于教师发挥自己的创造性.教师应用心领会教材的精髓，灵活使用教材中的习题.教材上配置的习题注重的是与所学内容的协调性，其功能是帮助学生巩固、理解所学知识内容，但受限于所涉及知识内容范围的要求，教师设置的问题要具有一定的基础性和启发性.习题教学中应注重基本图形（基本模型）的提炼与应用，依托基本图形，设计串联式问题，引导学生发现数学知识间的联系，深化学生对数学思想方法的理解.以习题为背景的问题设计应关注基本图形的研究与延伸，如“手拉手”模型、“一线三等角”模型、“K字”模型等.依托基本图形，有利于设计高质量的层次性问题、开放性问题.在习题教学时，教师可以结合自己的理解与分析，就同一个问题情境提出不同层次的问题或开放性问题，进一步挖掘习题中蕴含的教学价值，以问题驱动探究的方式，帮助学生积累活动经验，学会数学思考，生长数学思维.