“信号分析与处理”课程的核心-转移算子

王书明

(中国地质大学 地球物理与空间信息学院，湖北 武汉 430074)

地球物理工作有几个重要的环节，包括数据采集、资料分析处理、定性与定量解释等[1]， “信号分析与处理”则是地球物理专业重要的理论基础，是我校地球物理专业的必修课[2-3]。该课程涉及线性代数、微分方程、电子线路等基础知识，公式繁多，内容复杂[4-7]。因此，在学习过程中，学生们时常感觉教学内容枯燥难懂。如何梳理知识脉络，熟悉几个核心概念及其内在联系，进而理解和掌握整个课程内容，是讲解和学习这门课程的关键。其中，系统的转移算子是这门课程的核心内容[5,8]。

1 基本知识架构

自然界中的地球物理信号一般都是连续信号，地球物理信号分析与处理的理论基础是连续时间系统[3,9-12]，处理对象的激励信号和系统响应都是连续时间信号。地球物理领域，一般假设所研究的系统是时不变系统，这种系统对应的方程是时间域常系数高阶微分方程。做系统分析时，需要结合初始条件求解微分方程，这是一件比较复杂和困难的事情。为了便于求解，引入了傅氏变换和频率域的概念。为了扩展傅氏变换的应用范围，继而引入了拉氏变换和复频域。在频率域中，高阶常系数微分方程变换为代数方程，系统分析的问题就转变成为解代数方程，这极大简化了系统方程的求解[4-5]。

虽然实际地球物理信号是连续的，但利用现有的地球物理仪器无法采集到连续的时间信号，实际采集信号是离散的[9,13]。分析处理实际地球物理数据，必须先要学习和研究离散时间信号。离散系统的处理对象是离散信号，在地球物理领域，所对应的系统方程常为高阶常系数差分方程。类似于在频率域解决连续时间系统问题，为了便于求解，引入了Z变换。在Z域中，差分方程可变换为代数方程，离散系统分析迎刃而解[13-16]。

2 几个重要概念

对于连续时间系统，系统方程可以表示为

y(t)=H(p)f(t)

(1)

式中，f(t)和y(t)分别表示连续激励信号和系统响应，H(p)表示转移算子。在已知H(p)的前提下就可以建立系统方程，继而做系统分析。因此，H(p)是连续时间系统的核心。

连续时间系统在频率域中零状态的解可以表示为

Y(jω)=H(jω)F(jω)

(2)

其中，F(jω)和Y(jω)分别表示连续激励信号和系统响应频谱，H(jω)表示系统函数。显然，求得系统函数即可完成系统分析，得到系统响应的解。H(jω)是连续系统频域分析的关键。

连续时间系统在复频域中零状态的解如下

Y(s)=H(s)F(s)

(3)

其中，F(s)和Y(s)分别表示连续激励信号和系统响应频谱，H(s)表示系统函数。同上，基于系统函数，可以得到系统响应的解，H(s)是连续系统复频域分析的关键。

如前言所述，对于实际地球物理信号，需要用到离散时间系统，系统方程如下

y(k)=H(s)f(k)

(4)

式中，f(k)和y(k)分别表示离散激励信号和离散系统响应，H(s)表示离散系统的转移算子。注意，此处的H(s)不同于上述的H(s)。上述的H(s)中的s表示复频率，此处H(s)中的s则代表移序算子。为了区别，将离散系统的H(s)改写为H(s(-))。根据H(s(-))，可以建立离散系统方程，H(s(-))是离散时间系统的重点。

在Z域中，离散系统响应如下

Y(Z)=H(Z)F(Z)

(5)

其中，F(Z)和Y(Z)分别表示离散激励信号和系统响应的Z变换，H(Z)表示离散系统的系统函数。显见，根据系统函数，可以得到离散系统响应的解，H(Z)是离散系统Z域分析的关键。

3 系统转移算子的核心地位分析

深入分析会发现，另外一个重要概念——冲激响应也可以和转移算子联系起来：对于连续系统，若对频率域中的系统函数H(jω)作逆傅氏变换，可得单位冲击响应h(t)；在连续系统中，对复频域中的系统函数H(s)作逆拉氏变换，可得单位冲击响应h(t)；在离散系统中，对Z域中系统函数H(Z)作逆Z变换，可得单位函数响应h(k)。这些内在关联可以表示成如下形式：对于连续时间系统，已知系统的转移算子H(p)，可以建立系统方程

(6)

上式展开后可得系统方程的一般高阶微分方程形式，即

(7)

对转移算子H(p)中的变量p做变量替换，可得频率域中的系统函数

(8)

对系统函数H(jω)作逆傅氏变换，可得系统分析中一个重要变量单位冲激响应

h(t)=f-1[H(jω)]

(9)

基于H(jω)和h(t)，容易得到系统方程在时间域和频率域中的零状态响应

y(t)=h(t)*f(t);
Y(jω)=H(jω)·F(jω)

(10)

复频域中，基于连续系统的转移算子H(p)，可以用上述类似的方法得到系统函数H(s)，以及系统方程在时间域和复频域中的零状态响应。

对于离散时间系统，已知系统的转移算子H(·)，亦可建立系统方程

(11)

上式展开后，可得系统方程的一般高阶差分方程形式

y(k+n)+an-1(k+n-1)+…+a0y(k)=
bmf(k+m)+bm-1f(k+m-1)+…+b0f(k)

(12)

(13)

对系统函数H(Z)作逆Z变换，可得离散系统分析中一个重要变量单位函数响应

h(k)=Z-1[H(Z)]

(14)

基于H(Z)和h(k)，可得系统方程在时间域和Z域中的零状态响应

y(k)=h(k)*f(k);
Y(Z)=H(Z)·F(Z)

(15)

上述分析表明，通过系统的转移算子H(p)和H(·)，可以把“信号分析和处理”课程的主要内容串联起来。如果能深刻理解和掌握转移算子这个核心概念，不仅能建立连续系统和离散系统的系统方程，而且可以完成系统分析。

4 结束语

“信号分析与处理”是地球物理专业的基础课，内容繁杂，公式较多。为了使学生能够深入理解和掌握这门重要课程，本文论述了该课程的基本知识架构和几个重要概念，重点分析了系统的转移算子、系统函数和冲激响应。它们之间的内在联系说明，基于系统的转移算子不仅可以建立系统的系统方程，而且可以完成系统分析。通过转移算子这个点，可以支撑起整个这门课程的主要理论体系，因此系统的转移算子是这门课程的核心概念和内容。深入理解和掌握系统的转移算子，认识转移算子和系统函数、及冲激响应之间的关系，是学习这门课的关键。