一类分数阶不确定重复控制系统的稳定性分析

刘瑞娟，康美玲，徐 欣，林海燕

(厦门理工学院应用数学学院，福建 厦门 361024)

近20年来，分数阶微积分与分数阶控制理论得到了前所未有的发展，在弹性材料、图像处理、电化学过程等领域都有广泛的应用[1-2],表现出比一般的整数阶系统更加优良的控制性能。然而当分数阶系统考虑模型不确定性时，则对系统的稳定性分析及控制器设计带来较大的困难[3-4]。常规方法不易直接运用到分数阶系统中。

稳定性是一个系统最为基本的特性，同时也是系统能够正常运作的前提。分数阶系统稳定性的研究目前已取得了一系列成果。1996年，Matignon[5]以有限维的线性微分方程为研究对象对分数阶系统的稳定性问题进行了研究。 Chen等[6-7]讨论了含区间不确定性系数的分数阶系统的鲁棒能控性，并利用线性矩阵不等式方法解决了含不确定参数的分数阶系统的混沌同步问题。Sabatier等[8]得到复数域上分数阶系统(0<α<1)状态反馈可镇定的充分必要条件；Lu等[9]分别研究了在1<α<2和0<α<1的情况下分数阶区间不确定系统的稳定性，并分别得到状态反馈可镇定的充分必要条件及充分条件。Lan等[10]提出的基于观测器的方法使分数阶标称系统获得了优于文献[9]的稳定性及控制性能。然而，现有文献尚未对参考输入为周期信号的分数阶重复控制系统的稳定性能及跟踪控制展开研究。本文针对一类分数阶不确定重复控制系统，建立基于分数阶观测器的控制系统结构，应用间接Lyapunov方法分析系统稳定性。

1 预备知识

引理1[11]:分数阶非线性微分方程

Dαx(t)=f(x(t))，

采用分数积分器的连续频率分布模型，可以等价为

(1)

引理2(Schur补)[12]：对给定对称矩阵Σ，

(2)

引理3[13]：给定有合适维度的矩阵H和E，对于所有的F(t)，FT(t)F(t)≤I，

HF(t)E+ETFT(t)HT<0

(3)

成立，当且仅当存在ε>0，满足：

εHHT+ε-1ETE<0。

(4)

(5)

2 控制系统结构设计

考虑带不确定性的重复控制系统

(6)

式(6)中：x(t)∈Rn为系统的状态变量，u(t)∈Rp与y(t)∈Rq分别表示控制输入与输出，系统参数A，B和C则为具有适当维数的已知常数矩阵，被控对象的不确定性表达式为

(7)

式(7)中：M，N0和N1为已知常数矩阵，E(t)∈Rn×n有界且勒贝格可测。

构建基于分数阶状态观测器的重复控制系统结构，如图1所示。

图1 分数阶重复控制系统结构

该控制系统由不确定被控对象、分数阶状态观测器和重复控制器组成。

重复控制器即为常见的含有时滞项及低通滤波器的模块，滤波器为如下形式：

(8)

式(8)中:ωc表示的是滤波器的剪切角频率。则重复控制器的状态空间表达式为

(9)

采用龙伯格型全维状态观测器来估计被控对象的状态，设为

(10)

(11)

图1中控制输入为

(12)

(13)

由式(6) (10)和(12)，得

(14)

结合式(6)(10)(11)和(12)，有

(15)

将式(6)代入式(9)，得

(16)

联立式(14)～(16)得出系统的状态空间方程

(17)

式(17)中：

3 控制系统稳定性分析

对控制系统进行稳定性分析。假设输出矩阵的奇异值分解为

(18)

定理1：如果存在对称正定矩阵X1,Y11,Y22,X2,X11,X22,X3,以及合适维数的矩阵W1,W2,W3,W4,W5,使得如下线性矩阵不等式可行：

(19)

式(19)中:

那么系统(17)是鲁棒稳定的，且控制器参数如下：

Kp=W1X1-1,Ke=W2USY11S-1UT,L=W3USX11S-1UT。

(20)

证明：首先，利用引理1，分数阶系统方程可写为

(21)

选取如下Lyapunov函数：

(22)

其中P是对称正定矩阵，对V(t)求一阶导，得

(23)

在此基础上，把上述式子得到的结果分成确定项Ω1和不确定项Ω2。

(24)

应用引理2，式(24)等价于：

(25)

令X=P-1，将式(19)分别左乘，右乘diag{X,I,I,I}，得

(26)

令

(27)

得式(19)(20)，定理得证。

控制器参数设计算法：(1)根据被控对象参数分别选取ωc，ε，ε1；(2)根据定理1编写程序，由式(20)得到控制器参数。

4 数值算例分析

假设系统(1)中各参数为

(28)

将状态空间方程中剪切频率的参数设为ωc=100。选取ε=1,ε1=1,根据定理1，应用Matlab中的LMI工具箱，结合程序运行可求得tmin=-0.025 4<0，并得到线性矩阵不等式的一组可行解：

(29)

从该算例可以看出，当系统包含模型不确定性时，运用本文方法可以得到使重复控制系统稳定的可行解，并使系统获得良好的控制性能。该方法基于与模型同阶的分数阶状态观测器，能够很好地估计被控对象的状态，且算法简便易行。

5 结语

本文提出了一种分数阶重复控制系统的稳定性分析方法。基于与被控对象同阶的分数阶状态观测器，建立控制系统结构，得到状态空间方程，应用间接Lyapunov方法及线性矩阵不等式理论，推导出系统鲁棒稳定的充分条件以及控制器参数。通过数值算例，应用Matlab工具箱验证了所提方法的可行性，并使系统获得良好的控制性能。