聚焦直线与圆的位置关系问题

■夏晓静

本文聚焦直线与圆的位置关系的典型问题，希望对大家的学习有所帮助。

一、直线与圆位置关系的判断

直线与圆的位置关系有三种∶相交，相切，相离。

例1已知圆C∶x2+y2-2ax+2y+a2-a+1=0和直线l∶x+y-2a+1=0。

(1)若圆C与直线l相切，求实数a的值。

(2)若圆C与直线l相交，求实数a的取值范围。

(3)若圆C与直线l相离，求实数a的取值范围。

解：圆方程可化为(x-a)2+(y+1)2=a，所以圆心C(a，-1)，半径且a＞0。

因为a＞0，所以a=2。

因为a＞0，所以a∈(2，+∞)。

方法点评:对于直线与圆位置关系的判断问题，通常选择几何法求解。若给出的圆的一般方程中含有参数，要注意先求出参数的取值范围，以防止出现增解。

二、直线与圆的相交问题

直线与圆的相交问题，一般涉及有关交点坐标、弦长、割线方程等问题。

例2已知圆C∶x2+y2-6x-8y+21=0和直线kx-y-4k+3=0。

(1)证明∶不论k取何值，直线和圆总有两个不同的交点。

(2)求当k取什么值时，直线被圆截得的弦最短，并求这条最短弦的长。

解：(1)圆方程可化为(x-3)2+(y-4)2=4。

由直线方程化为k(x-4)+3-y=0，可知直线过定点P(4，3)，易知定点P(4，3)在圆内，所以直线与圆必相交，即直线与圆有两个交点。

方法点评:解题时，抓住圆的几何性质可以避免复杂的代数运算，这是由圆的特殊性所决定的，体现了圆的对称性的魅力。

三、直线与圆的相离问题

直线与圆的位置关系中，相离问题最复杂，最难求。

例3已知圆M∶x2+y2-4x-8y+4=0与x轴相切，若点P是直线3x+4y+8=0上的动点，过点P作直线PA，PB与圆M相切，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值。

解：由题意可得圆M的方程为(x-2)2+(y-4)2=16，则S四边形PAMB=2S△PBM=

因为PM的最小值等于点M到直线3x+4y+8=0的距离，所以PMmin=6，由此可得(S四边形PAMB)min，即四边形PAMB面积的最小值为

方法点评:对于题中的特征四边形PAMB，还可以涉及切线长最短、周长最小、张角最大等问题，这些都可以利用圆心到直线的距离问题来解决。