分类讨论思想在高中数学解题中的应用

江西省赣州市第三中学 明小青

高中数学中包含分类讨论思想的知识点有：集合、不等式的求解、函数、概率、数列、圆锥曲线方程、空间向量、推理与证明等。研究发现，这类题的失分率往往较高，究其根本，还是学生没有充分掌握分类讨论的使用方法和原则，无法形成具有逻辑性、综合性、紧密性的思维，因而使得出题老师有空而入。

一、分类讨论思想的作用与原则

首先对分类讨论思想的原则与作用进行说明，以便读者能够对此有一个较为清晰的认识。在做数学题时，在进行到某一步或者某一过程时，常会遇到无法再像前面那样用同样的方法做出答案的情况，因为这时根据已知条件，后面的问题会包含不止一种情况和解题方向。因此学生就要根据题中所给的使用条件正确划分区域，然后在这些小区域中解题，这便是数学中的分类讨论。

（一）分类讨论的原则

1.在分类时要划分完全，确定问题涉及的整个区域，不要重复，也不要遗漏。

2.在同一个区域中要按照统一标准进行讨论。

3.分类要逐步逐级进行，不要使讨论顺序混乱。

（二）分类讨论的步骤

1.针对本题确定讨论对象与范围。

2.确定分类的标准，对问题进行合理划分。

3.逐步分类进行，同级之间不得越级，得出阶段性结果。

4.用同级标准对结果进行筛选。

5.归纳总结。

（三）分类讨论的因素

1.概念、定理、规律所引发的分类讨论。一般情况下，数学定律中都会自带分类讨论的因素，需要学生进行分类归纳。

2.由数学的多级运算引发的分类讨论。例如数学中常用的运算符号“≠、＞、＜”，在进行这类题的计算时，学生应当注意分类的多样性，考虑到各个方面。

3.含有未知数的问题，由未知数引发的分类讨论。对于参数问题，学生应该注意简化，尽量规避分类讨论。

古人常说：“物以类聚，人以群分。”合理利用分类讨论思想解题，将不同的问题逐步讨论，能大大节约做题时间，并且能较为清晰地表现出答题者的逻辑思维，提高解题效率。掌握了分类讨论思想，就意味着掌握了一半的数学难题，高中学生更要对此类方法烂熟于心，对它的原理以及规则能够运用得当。

二、分类讨论思想在数学题中的实际应用

1．在集合中的运用

集合运算通常包括元素与集合的关系、集合与集合的关系，在实际解题过程中，学生要对其进行分类讨论，特别是遇到待定系数时，需要我们对参数进行分类才能求解，因此学生要仔细分类，避免遗漏。

例如，含有待定系数的集合求解问题：已知集合A={X|X2-3X-10≤0}，B={X|M+1≤X≤2M-1，M为常数}，若A B，求实数M的取值范围。

分析：A B说明B是A的子集，即集合B 中的所有元素都在集合A中，要注意B是两种情况。

由A={X|X2-3X-10≤0}，得到A={-2≤X≤5}。

因为A B,所以有：

①当B＝∅时，则M+1＞2M-1，即M＜2，此时满足A B。

②当B≠∅时，又分为M+1≤2M-1;-2≤M+1;2M-1≤5。解得2≤M≤3。

由①和②得，M≤3。

2．在函数中的运用

函数中所用到的分类讨论主要是针对指数函数、对数函数、三角函数等按照特定底数或者参数分别讨论，求出最小值或者最大值，下面举例进行说明：

函数的定义域为一切实数，则实数a的取值范围为？

分析：由题意得对x∈R恒成立，分a=0和a＞0两种情况进行讨论。

3．在数列中的运用

数列中主要是对公比q，公差d,项数n的讨论，很多学生在做这类题时很容易忽略一些情况而解答不全，下面举例说明：

已知数列{an}的前n项和Sn=3n+b，求数列{an}的通项公式。

本题已知数列的前n项和，求an时要注意两点：①对n=1和n≥2进行讨论，特别注意“an=Sn-Sn-1”中要求“n≥2”；②由Sn-Sn-1=an推得的an，验证n=1时，也适合an的表达式，则通项公式必须合写；若a1不适合an的表达式，则通项公式应该写为

分析：a1=S1=3+b,当an=Sn-Sn-1=2×3n-1。

当b=-1时，a1适合等式；当b≠-1时，a1不适合等式。

∴当b=-1时，an=2×3n-1；

当b≠-1时，

在高中数学问题中，如果所要讨论的问题包含多种情况，那么就要抓住问题中的主干部分，确定条件的变化范围和考查方向，根据情况分类讨论，最后进行思路整合。在运用分类讨论的方法时，要树立分类的意识，在头脑里建构完整的知识体系，通过不断地训练明确应该从哪个方面分类、如何开展研究。在解答的过程中，要充分利用分类讨论建设自身思维能力，对比解答。

从上面的举例可以看出，分类讨论思想在数学中的范围之广、作用之大，然而现代高中生对此方法的掌握并不熟练。在使用分类讨论的方法时，一定要注意对问题进行正确分区，解题时要逐级探讨，学生要培养自己的思维习惯，灵活地利用已知条件进行求解，提升解题的严谨性和缜密性。

[1]皇甫琴．分类讨论思想在解题中的应用[J]．考试周刊，2012（65）．

[2]闵祝伟．例谈“分类讨论思想”在解题中的应用[J]．数友之家，2013（8）．