柯西不等式的几点注记

陈 明

（遵义师范学院数学学院，贵州遵义563006）

1 柯西不等式及其证明

证一：利用构造二次函数证明

反之，若两组数(ai)与(bi)成比例，两边相等。[1]

证二：利用作差法证明

证三：利用向量内积证明

利用向量内积证明

证四：利用均值不等式证明

式中A＞0，B＞0，则(1)即

下面证明不等式(3)，由均值不等式

将以上各式相加，得

证五：利用数学归纳法证明

即n=k+1时，不等式也成立

2 柯西不等式的各种形式

柯西不等式有各种各样的类型，在不同的数学分支中都有着极其广泛的应用。在不同的数学分支它有不同的形式和内容，但其本质是不变的，这充分体现了数学各分支间的关联性、渗透性和统一性。下面列出柯西不等式在数学四个基础分支的不同表达形式。[5]

（1）微积分学中的柯西不等式

对于［a，b］区间上的任意可积实函数ƒ(x)，g(x)，均有

（2）代数学中的柯西不等式

（3）泛函分析中的柯西不等式[3]

（4）概率论中的柯西不等式[3]

3 柯西不等式的应用

3.1 最值方面的应用

解：由柯西不等式得：

3.2 在证明不等式方面的应用

证 由柯西不等式，有

两式相加，得

当n=2时，上不等式为

其中等号当且仅当a1=kb1，a2=kb2时成立。

不等式(2)揭示了三角形中两边之和大于第三边这一基本性质（当三角形退化为三顶点共线时取等号）。不等式(1)是不等式(2)的推广，因此获“三角形不等式”这一名称。

3.3 在解决等式、方程等问题上的应用

证明：由柯西不等式：

3.4 在几何上的应用

求证：点P(x0,y0)到直线L：Ax+By+C=0的距离是：

证明 设Q(x1,y1)是直线L：Ax+By+C=0上任一点，则

由柯西不等式知

此非严格不等式中的等号仅在B(x1-x0)=A(y1-y0)即PQ⊥L时成立。

灵活运用柯西不等式，可使解题更加方便，快捷。因此，柯西不等式在数学理论中占有非常重要的地位。