MEMS陀螺阵列的RCC-OBE估计融合方法

2018-11-28沈强刘洁瑜赵乾王琪

北京航空航天大学学报 2018年11期

沈强，刘洁瑜,*，赵乾，王琪

(1. 火箭军工程大学导弹工程学院，西安 710025； 2. 火箭军士官学校测试控制系，青州 262500)

微机电系统(MEMS)陀螺由于具有体积小、质量轻、功耗低、易于集成等优势，在汽车、电子、医疗设备等领域都得到了广泛的应用。但是，其精度低，噪声大，难以满足如航空航天和高精度武器制导[1-2]等高精度应用的需求，且国内的技术水平相对滞后。

为充分发挥MEMS陀螺的优势，进一步扩展其应用领域，如何在当前的工艺和技术水平条件下提高MEMS陀螺使用精度一直是研究的重要方向[3]。MEMS陀螺具有体积小、成本低、易于集成的特点，随着多传感器融合技术的蓬勃发展，陀螺阵列技术逐渐受到了人们的重视。该技术首次由Bayard 和Ploen 提出[4]，他们同时使用多个MEMS陀螺测量同一速率信号，然后利用信息融合技术得到载体速率的最优估计值。由于其最终的输出信号与单个真实陀螺的实际信号不同，所以在这种技术也被称为“虚拟陀螺”技术。陀螺阵列技术是MEMS陀螺的精度得到了有效的提高，且具有良好的可操作性，所以近来成为了惯性技术的一个研究热点。国内外很多科研机构都对这项技术进行了相关研究，并进行了试验验证[5-10]。

陀螺阵列技术的核心是多传感器融合估计方法。上述研究中采用的多是Kalman滤波及其扩展算法，这类方法在一定程度上提高了MEMS陀螺的输出精度。但是这种基于随机噪声假设的估计方法要求噪声的统计特性已知，噪声和未建模误差的概率化模型信息的缺失会影响其估计精度。而在MEMS陀螺的实际应用中，由于动态条件、温度等因素的影响，噪声的统计特性会产生一定的不确定性，甚至噪声本身可能包含部分难以用统计方法描述的非白噪声，这必然会影响Kalman滤波器的效果，甚至会造成滤波发散。与Kalman滤波不同的是，集员估计理论只要求噪声有界且已知，而无需知道噪声的分布以及均值和方差等统计特性[11-12]。这在实际应用中是容易实现的，而超出界限的往往被视作坏值剔除或作为故障诊断的依据。因此，本文研究了集员估计在MEMS陀螺阵列信号中的应用。

集员估计所得结果是一个包含状态真实值的可行集，而可行集形状往往十分复杂，难以确定，所以一般采用包含可行集的近似可行集来描述，其中最常用的是椭球集合，这种方法被称作最优定界椭球(OBE)算法[13-15]，也是本文的主要研究内容。OBE算法通常将椭球中心作为真实值的点估计。实际上椭球中心并没有理论上的最优特性，而Chebyshev中心是使可行集worst-case误差最优的点[16]，更适合作为真实值的点估计。但可行集的Cheyshev中心很难确定，所以本文采用松弛Chebyshev中心(RCC)作为真实值的角速率估计值。以此为基础，设计了新的参数优化准则，提出了基于RCC的OBE(RCC-OBE)算法，并将该算法用于陀螺阵列数据的融合，得到了MEMS陀螺阵列的RCC-OBE估计融合方法。

1 MEMS陀螺数学模型

陀螺的误差主要由确定性误差和随机误差构成，确定性误差可通过标定补偿，这里仅考虑随机误差，随机误差主要包括零偏不稳定性、角度随机游走(ARW)和角速率随机游走(RRW)，因而对角速率ω的带噪声测量通常采用下面的模型[7]：

y=ω+b+n

(1)

(2)

式中:y为陀螺输出;n为角度随机游走;b为受噪声w驱动的角速率随机游走。但具体模型还要由陀螺真实误差特性来决定。

2 MEMS陀螺阵列模型

采用式(1)描述的随机误差模型来建立陀螺阵列的系统模型。静态条件下，陀螺的真实角速率ω理论上等于0，但实际上由于外界环境的影响，陀螺的输入角速率不可能绝对等于0，而是表现为由噪声nω驱动的随机游走。选取6个陀螺组成阵列，则阵列系统的离散方程通常可以表示为[7]

(3)

式中:xk=[b1(k),b2(k),…,b6(k),ω(k)]为状态向量，b1(k)～b6(k)为各陀螺的角速率随机游走，ω(k)为真实角速率；zk=[z1(k),z2(k),…,z6(k)]T为量测向量，z1(k)～z6(k)为各陀螺的输出值；状态转移矩阵Φk-1=I7，I7为7维单位矩阵；量测矩阵Γk-1=TI7，T为陀螺采样周期；量测矩阵Hk=[I6⋮16×1]，16×1为所有元素均为1的6×1矩阵；过程噪声向量wk-1=[w1(k-1),w2(k-1),…,w6(k-1),nω(k-1)]T，w1(k-1)～w6(k-1)为各陀螺角速率随机游走的驱动噪声，nω(k-1)为真实角速率的驱动噪声；量测噪声向量vk-1=[v1(k-1),v2(k-1),…,v6(k-1)]T，v1(k-1)～v6(k-1)为各陀螺的输出噪声。

但是，在实际应用中，陀螺通常工作在动态条件下。此时，真实角速率跟被测对象的动态特性相关，而上述随机游走过程难以充分跟踪对象的动态特性。为提高陀螺阵列的动态性能，对角速率进行如下的建模：

(4)

式中：a(k)为角加速度;j(k-1)为角加加速度，可以看作分布未知的噪声。则状态变量、过程噪声和阵列离散方程中的相关矩阵修改如下：

xk=[b1(k),b2(k),…,b6(k),ω(k),a(k)]

Hk=[I6⋮16×1⋮06×1]

wk-1=[w1(k-1),w2(k-1),…,w6(k-1),

nω(k-1)，j(k-1)]T

而量测变量和量测噪声保持不变。

另外，wk-1和vk分别为过程噪声和量测噪声。为满足Kalman滤波及其衍生算法的条件，它们通常被假设为高斯噪声。但是，这种条件有时难以满足。本文将其假设为一种更为广泛而且容易满足的情况，分布未知但有界(UBB)，并假设其属于如下椭球：

(5)

(6)

式中：Qk、Rk为已知的正定矩阵。

相应的，初始状态假设属于如下椭球：

(7)

3 RCC-OBE算法

RCC-OBE算法是在OBE算法的基础上改进而来，以UBB假设为前提，同样由时间更新和量测更新2个过程组成。

3.1 时间更新

(8)

一般情况下，2个椭球的Minkowski和是凸的但形状复杂，难以精确确定。为简化计算，实现算法的递推，本节将通过计算外包椭球来逼近状态预测集

(9)

具体过程如下：

(10)

(11)

式中：参数pk可通过最小化椭球的迹得到

(12)

3.2 量测更新

(13)

式中：量测椭球可描述为

(14)

同样的，笔者通过计算外包椭球来逼近这个交集：

(15)

椭球中心和形状矩阵可按式(16)和式(17)计算：

(16)

Pk=βk[(I-LkHk)Pk|k-1(I-LkHk)T+

(17)

式中：qk为用来优化椭球的参数。

(18)

(19)

(20)

假设x位于l个椭球的交集Q中

Q={x:fi(x)

(21)

(22)

不过，求解一个凸集的Chebyshev中心极其困难，因为式(22)中内部的极大化过程是一个非凸二次优化问题。为此，将式(22)内部的非凸最大化过程用其半定松弛(SDR)代替，并解决由此导致的凸凹极大极小问题，从而得到RCC。

式(22)中的极大化过程可以描述为

(23)

令Δ=xxT，则式(23)等价于

(24)

式中：

G={(Δ,x):fi(Δ,x)≤0，0≤i≤l,Δ=xxT}

(25)

并定义

(26)

式(24)描述的目标函数对于(Δ,x)是凹的，但集合是非凸的。为实现式(24)的松弛，采用如下的凸集T来代替集合G，T的定义为

T={(Δ,x):fi(Δ,x)≤0，0≤i≤l,Δ≥xxT}

(27)

式中：Δ≥xxT表示Δ-xxT半正定。

所以RCC可以通过求解式(28)的极大极小问题解决

(28)

(29)

(30)

这是一个带有线性矩阵不等式约束和凹目标的凸优化问题，式(30)的解即为可行集的RCC。另外，由于Q⊆T，所以RCC本质上是式(22)中极大极小问题最优解的上界。

(31)

经过式(27)～式(30)的松弛和转化过程，最终状态可行集的RCC可通过如下过程求得：

(32)

(33)

则k时刻状态可行集的RCC为

α2,kb2,k)

(34)

式中：参数(α1,k,α2,k) 可通过求解半定规划(SDP)问题得到：

(35)

对于量测更新中参数的优化,通常从外包椭球的大小考虑，通过最小容积或最小迹准则来选择最优参数。这有利于在更新中减小状态估计值的不确定范围，但并不能显著减小点估计的估计误差。为进一步提高本方法实际应用中的估计精度，本文提出了一种新的优化准则：

(36)

那么，RCC-OBE算法的具体步骤可以总结如下：

步骤4令k=k+1，并回到步骤 2。

4 试验与分析

本文试验采用六陀螺方案，将6个ADXRS300微机械振动陀螺焊接在同一电路板上，并对周围电路进行了设计。通过PXI4070 DMM板卡和PXI6502继电器板卡建立高精度测量系统，对同一轴向进行角速度测量。陀螺阵列系统如图1所示。

试验中所用陀螺设定的带宽为40 Hz，为满足奈奎斯特定律，以200 Hz的频率进行陀螺输出数据的测量。试验过程中将陀螺阵列置于安装在隔离地基上的温控转台上，转台精度完全能够满足MEMS陀螺测试的要求。

为验证陀螺阵列和融合方法的性能，进行了陀螺阵列的摇摆试验。将陀螺阵列上电预热10min，然后设置转台参数使其做幅度为10°，周期为2 s的摇摆运动，所以陀螺的输入速率为ω=10π·sin(πt)(°)/s。然后按照以上要求采集10 s的陀螺阵列数据，单个陀螺(以陀螺5为例)的输出及输出误差如图2所示。

图1 陀螺阵列系统Fig.1 System of gyro array

得到陀螺阵列的输出数据之后，采用第2节所述的方法对陀螺阵列进行建模，在此基础上，利用第3节推导的RCC-OBE算法对阵列数据进行融合。同时，采用了Kalman滤波和OBE算法作为对比融合方法。融合输出及输出误差见图3。

为了定量分析几种方法的性能，选择均方根误差(RMSE)和信噪比(SNR)2项指标来衡量其去噪效果。由均方根误差和信噪比的定义可知，同一信号去噪处理后，均方根误差越小，信噪比越大则去噪效果越好。

同时，为检验算法的有效性，笔者进行了多次试验，不同摇摆幅度(A)和周期(T)下的处理结果见表1～表3。

从图2、图3和表1～表3可以看出，试验中的3种方法均有效提高了MEMS陀螺的精度，这首先验证了陀螺阵列技术的有效性。

从计算结果来看，无论是信噪比还是均方根误差，RCC-OBE算法融合的效果都优于其他2种方法，特别是与同类型的OBE算法相比优势比较明显。另外，Kalman滤波等传统的融合方法只能得到一个估计值，而本文所提出的算法不仅可以实现高精度的点估计，同时能够得到估计的上边界值和下边界值，如图4所示，图中虚线和点划线指的是算法估计边界。可以看到，当设定的噪声边界值不小于实际噪声边界时，陀螺输出的角速率的估计值也在一个硬边界内，这对于载体的姿态控制和制导都具有重要的意义。