向量解题十二招式理论与实践

薛超群

（福建省宁德市高级中学，福建宁德 352101）

引 言

向量是高中数学教材重要的教学内容，在近年的全国高考中考查力度和比例逐渐加大。在教学中，教师在课堂中结合教学内容，总结形成有效的“招式”，引领学生学会灵活解决向量的平移、伸缩、合成、分解等变换问题，正确地进行有效运算，深化对向量的本质认识，领会蕴含的数学思想和方法，逐步培养起善于运用解题方法来分析解决向量有关问题的能力和素质[1]。笔者通过教学实践摸索，对教材进行归纳总结，节选某些数学向量章节教学案例，形成向量解题十二招式。现做简要介绍。

一、向量解题十二招式理论

招式一：“向往自由”，向量是自由的，即向量可以自由平移，但自由是有限的，即向量只能平移[2]。

招式二：“走路规则”，即三角形法则，如从A点 走到B点 ，再从B点 走到C点 ，相当于A从点 走到C点 ，即

招式三：“力的合成”，即平行四边形法则。在平行四边形ABCD中，

招式四：“铜（同）头指被”，两个向量相减，一要同起点，二要指向被减数。

招式五：“平行——蓝菲灵”，向量与非零向量平行，等价于平行，意为一起走；蓝菲灵，意为女子，音为蓝，乘以菲灵（非零向量）。当λ＞0时向量与向量同向，当λ＜0 时向量与向量反向。

招式六：“鸡爪理论”，向量不共线，是一组基底，形如鸡爪，则平面内的任一向量可以表示为的线性组合，即其中λ,µ是唯一的。

招式七：“做功”，即

招式八：“说谁就是谁”，向量在向量方向上的投影为其中θ为向量与向量的夹角。

招式九：“揪住尾巴向前减”，则字母B是尾巴。

招式十一：“看到夹板就轰炸”，求的值，可用公式幂指数2形如轰炸机。

招式十二：“ 平 行 闪出强盗”，平行，意为四个人一起走，闪出强盗，意为遇上强盗，等价于

二、向量解题实践

学生妙用以上十二个向量解题招式，来解决向量实际问题，可以达到事半功倍的成效。

例1 .求

分析：要求用招式二“走路规则”，即得

例2 .在ΔABC中，点M为BC边靠近点B的三等分点，设用表示

分析：在ΔABC中，要用表示先用招式二“走路规则”，可得而用招式五“平行——蓝菲灵”，可得要求用招式四“铜（同）头指被”，可得故这个结论即为招式六“鸡爪理论”。

分析：要求用招式十一“看到夹板就轰炸”，由得

例4 .已知当k为何值时：（1）垂直？（2）平行？平行时它们是同向还是反向？

分析：已知要求当k为何值时：

（1）垂直，因为用招式十“兵对兵来将对将”，即可得解得

（2）平行，用招式十二“平行闪出强盗”。即等价于可得解得用招式五“平行—蓝菲灵”，向量与非零向量平行，等价于得知平行，平行时它们是反向。

例5.平面向量点X为直线OP上动点。（1）当取最小值时，求的坐标。（2）当点X满足（1）中条件和结论时，求cos∠AXB的值。

分析：（1）向量可得直线OP方程点X为直线上OP动点，取最小值，要求的坐标，点X为直线OP上动点，可设X(2t,t)，向量用招式九“揪住尾巴向前减”，可得用用招式十“兵对兵来将对将”，可得当t=2时，即时，取最小值。

（2）当点X满足中条件和结论时，可得要求cos∠AXB的值，用 招式七“ 做功”，即可得

例6.已知求向量在向量方向上的投影。

分析：要求向量在向量方向上的投影，用招式八“说谁就是谁”，即向量在向量方向上的投影为可得

结 语

总之，师生一起巧用“招式”，优化向量教学，对促进课堂效果、提升学生解决问题的能力都产生积极的影响。只要教师坚持从教学实际出发，从学生激发学习兴趣的角度去设计更多更有效的向量教学“招式”，我们的数学课堂必将更加生动有趣。

[1]中华人民共和国教育部.全日制普通高中数学新课程标准[S].北京：北京师范大学出版社，2007.

[2]李艳.新课改下高中数学向量的教学研究[D].大连：辽宁师范大学，2014.

[3]姬梁飞.高中数学向量研究之刍议[J].贵州师范学院学报，2016，32(6)：71-74.