谈谈数学解题的得与失

赵新澳

作为一名高三党，解数学题是家常便饭，但我以为不能只是简单刷题，有时候解完题后再多问几个为什么，或许会“别有滋味”，在我们沉浸于“原来如此”的喜悦的同时，可以在解题的思路更新和能力创新方面得到真实的历练.最近在学习向量的时候，我就遇到了一道题，在老师的鼓励和帮助下，尝试对问题进行变式推广，颇有些得意，特记录下来与同学们一起分享.

一、就题论题，问题解决

原题 在等腰直角△ABC中，∠BAC =90°，AB =AC =2，M，N分别为BC边上的两个动点，且满足MN=√2，则AM.AN的取值范围为____.

一般情况下，向量问题有三种处理思路，即直接法、坐标法和基向量转换法.考虑到这道题没有给出向量长度和夹角，从而用定义直接处理的思路就首先否定了；然后又因为题目中有垂直，因为我在处理时选择的是坐标法，以A为原点、AB为x轴建立平面直角坐标系，其解题过程如下：

因BC的直线方程为y=2 z，故而设M（m，2-m）.N（n.2-n）（0≤m

MN=√2 （n-m）2+[（2-n）-（2-m）]2=2 n-m=1.

有AM.AN=（m.2-m）.（n，2-n）=mn+（2-m）（2-n）=2m2-2m +2，m∈[0，1].

由二次函数性质，当m=1/2时，AM.AN有最小值3/2；当m-0或1时，有最大值2.

所以取值范围就为[3/2，2].

当然类似地，以AB，AC为基向量，然后将AM，AN转化为基向量的线性表达式，因为基向量已知，这样就可以把AM.AN表示出来，于是同样也可求出相应数量积的范围，

本来题目做到这儿就可以结束了，但我发现m=1/2时，MN恰好处于线段BC的中间位置（MN的中点即为BC的中点）；而m=0或1时，MN偏向线段BC的一侧（有一个端点与线段BC的端点重合）；加之本题的背景是等腰直角三角形，从图形的对称性上也能解释特殊法的合理性，于是我就想，这样的结论是否可以推广到一般的等腰三角形中呢？

顺着这个思路我对题目做了个推广，∠BAC=θ（θ为常数），AB=AC=a，MN设为定长6（

二、眾里寻它，方得始终

第二天带着问题求教老师，老师带我用GeoGebra软件做了推广验证（如图1），改变M点的位置，得到数量积的计算值；而以M点的横坐标、数量积的计算值分别为横纵坐标构造E点后，然后以M点为主动点、E点为从动点构造轨迹（如图2）；轨迹图象有力地支持了我的猜想，而这样的图象特性（在中点处取得最小值、在端点处取得最大值）恰与θ角的大小无关，真是“有图有真相”，这一验证让我顿时信心百倍.

而回首我昨晚的证明过程，经过讨论我们发现，之所以没证出来关键是题设字母设的不合理，MN这一定值不应设为绝对值，而应设为相对值（可设为MN =tBC，t∈[0，l]），这样计算起来应该方便些.再者，考虑到书上有关于三点共线的一个结论：P点在直线AB上，则有OP=mOA+nOB且m+n=1.于是在老师的鼓励下，我修正了原来的解法，整理推广过程如下：

因为MN在BC上，所以有MN =t BC，t∈[0，1].

设BM =λBC，BN=μBC，0≤λ<μ≤1，

于是MN =BN-BM=（μ-λ）BC =tBC μ-λ=t，

BM =λBC， BN=μBC AM=（1-λ） AB+λAC， AN=（I-μ）AB+μAC，

所以AM.AN =（1-λ）AB +λAC].[（1-μ）AB+μAC]

=（1-λ）（1-μ）AB2+[（1-λ）μ+λ（1-μ）]AB.AC +λμAC2

=[1-（λ+μ）+2μλ]a2+[（λ+μ）-2λμ]a2cosθ

=a2+[2λμ-（λ+μ）]a2（1-cOsθ）.

说实在题目解到这儿已是不易，接下来往哪儿走却很关键.冷静再冷静回头看，我发现题中有M，N两个动点，它们分别对应着变量λ和μ，这样四个字母中就λ和μ是变量了；于是只需要重点考虑2μ-（λ+u）即可，结合两限制条件0≤λ<μ≤1，μ-λ=t，可以想到消元，于是想到干脆提取出λ为未知元建立函数进行研究：设f（λ） =2λμ-（λ+μ），由μ-λ=t，消元得f（A） =2λ22（1-t）λ -t，λ∈[0，1-t].

二次函数f（λ）图象的对称轴为λ=（1-t）/2，这样结合函数性质，可得出结论：当A=（1-t）/2时，f（λ）取得最小值（此时μ=（1+t）/2，MN恰好在BC的中间位置）；λ=0或1-t时，f（λ）取得最大值（此时M，B重合或N，C重合）；于是猜想得证.这样，我们就可从原题得到一推广命题：

在等腰三角形ABC中，∠BAC=θ（θ为常数），AB =AC =a，M，N分别为BC边上的两个动点，且满足MN =t BC，t∈[0，1].当MN位于BC中间位置时，AM -AN取得最小值a2 丢（t2 +l）a2（1-cosθ）；当MN偏向线段BC一侧（有一端点与线段BC端点重合）时，AM.AN取得最大值a2-ta2（1-cOsθ）.

这次探究经历，于我而言，“得”远远大于“失”，“失”的是宝贵的时间（过程很费周章），“得”的却是对数学解题满满的体验：

1.对数学解题的全新思考.通过题目特殊位置特殊值的分析，猜想一般化的结论，继而证明猜想，从而发现一有关数量积范围的推广命题，我觉得这才是日常做数学的感觉.

2.数学解题需要有一定的想象和思维发散，在推广过程中我的发散思维得到了锻炼，我对问题的本质认识更加清晰，事实上原题中MN=√2即相当于推广题中t=1/2，这样只要将推广题的证明稍作改动就得到原题的基向量的证法（事实上据我调查，原题的基向量的证法，我们班还没几个同学可以得出，原因还在于他们不会处理√2这个条件）.

3.数学解题需要明辨方向、梳理思路，原来我之所以会陷入困境，主要还是忽视了书上的三点共线性质，看来回归课本在高三复习中不仅重要还很必要；而有了这次经历，下次再遇到含多个字母的试题，我会更有底气与毅力.