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规范灵活的思维是解决压轴题的关键

2018-11-23陈博文

新高考·高三数学 2018年3期
关键词:因式切点极值

陈博文

函数与导数作为高中数学的核心之一,在高考命题中常常作为压轴题出现.我们在此类题型的解题过程中经常步履艰难,不知从何下手,以至于最后对其产生了畏惧之心,

其实,函數与导数题型的难度,在于它的逻辑思维战线长,中间一波三折,又可穿插考查分类讨论、数形结合等多种数学思维.在解题过程中,我们的思维易出现混乱,往往说理不清甚至不能继续答题,因此,把自己的解题思维变得规范、灵活、有条理、简洁,是十分必要的.

规范的思维,首先在于如何去分析问题、解决问题,并快速地从知识储备中提取所用知识,常见题型的各种问题,每一步的操作步骤,甚至具体到在哪一点上自己易出错,都应熟记于心,基础扎实,不仅是指知识上的准确,更在于运用的熟练,即能形成一套规范的解题程序,而这种规范思维的养成,需要平时多整理、多思考、多练习.

下面,我以一道题目为例来说明.

题目 (2017年山东理科卷第20题)已知函数f(x)=x2 +2cosx,g(x)=ex(cos xsinx+2x-2),其中e=2.71828…是自然对数的底数.

(工)求曲线y=f(x)在(π,f(π)处的切线方程;

(Ⅱ)令h(x)=g(x)-af (x)(a∈R),讨论h(z)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值,

分析 (I)明显是切线问题.对于这一类问题,我们的基本思维为抓住切点建方程,列出点斜式便可较快地得出答案.

(Ⅱ)是探究函数的单调性和极值.其基本步骤为:求出h'(z),并探究它与零的关系.通过对参数讨论的手法来描绘出函数图象的特点.

解题历程 (I)由题意可得f(π)=π2-2,故切点坐标为(π,π2-2).

又f '(-)一22 2sinx,故f'(π)= 2π,因此,切线方程l:y-(π)= f'(π)(x-π),

整理得l:2xπ-y-π2-2 =0.

(Ⅱ)由题意,h'(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)+e x(sin x-cosx+2)-a(2x2sinx).

自问1:h'(x)的表达式过于冗长,应该如何处理呢?

自答1:由于h'(x)的表达式过于冗长,(Ⅱ)问大部分同学因此折戟沉沙.那么我们是如何通过导数来研究图象的?我们通过讨论导数与零的关系来画出草图研究极值,但对于现在的h'(x),我们似乎很难讨论它与零的关系.此时,规范的程序性思维便派上了用场,对这种和差形式的导数,最通常的办法是通过因式分解求出变号零点,再进行讨论.

于是可得:h'(x)=2ex(x-sinx)2a(x-sinx)一2(ex-a)(x-sinz).

自问2:因式ex-a与零的关系需要进行分类讨论,因式zSln z不含有任何参数,那么x-sinx与零的关系如何?

自答2:既然因式x-sinx不含有任何参数,那么x-sinx与零的关系只与变量x,有关,可以新设函数,进行研究;对于因式ex-a,可令ex- a=0,即e x=a,若使得该方程有解,只需要讨论参数a与0的关系,当a≤0时,显然ex-a>0,当a>0时,方程ex=a的解为x=lna,此时需要综合x-sinx的零点进行分类讨论.

设m(x)=x-sinx.

由于m'(x) =1- COS x≥0,则m(x)在R上单调递增.

又因为m(0)=0,所以当x<0时,m(x)O时,m(x)>m(0),即x-sinx>0.

设n(x)=e x-a,则h'(x)=2m(x).n(x),

(l)当a≤0时,ex-a>0恒成立.

则当x <0时,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x>0时,h'(x) >o,h(x)单调递增;当x=0时有最小值矗(0)=-2a-1,无极大值.

(2)当a>0时,令ex-a=0得x=Ina.

①若Ina <0,即O0,所以h(x)在(-∞,Ina)上单调递增;当Ina0,故h'(x)<0,故h(x)在(Ina,0)上单调递减;当x>0时,m(x)>0,n(x)>0,故h'(x)>0,因此h(x)在(O,+∞)上单调递增;因此x=Ina时,h(x)取到极大值为h(Ina),x=0时,h(x)取到极小值-2a-1;

②若Ina=0,即a=l,当x<0时,m(x)0,当x>0时,m(x)>0,n(x)>0,h'(x)>o,因此h(x)在(-∞,+∞)上单调递增;无极值;

③若Ina >O,即a>1,当x<0时,m(z)<0,n(x)<0,故h'(x)>0;当0Ina时,h'(z)>0,h(x)在(Ina,+∞)上单调递增;因此x=0时,h(x)取到极大值,h(0)=-2a-1.x=lna时,h(x)取得极小值为h(Ina).

综上(1)、(2)分类,便可得最终答案.

评注:细思本题,仍然考查处理函数与导数问题的通性通法,本题能作为压轴题,重点在于考查数学的基本功,如因式分解、分类讨论等,只不过对这些通性通法的考查,换了复杂的的函数背景.我们在日常的复习过程中,应该注入研究性思维,寻找万变不离其宗之“宗”,揭示问题的本质,例如本题涉及的切线问题,核心在于抓住切点建方程,那么由切点引发的结论是什么?切点可得切线斜率、切点在切线上、切点在曲线上,利用关于切点的这三条,关于切线甚至于较难的问题我们也会迎刃而解,对于(Ⅱ)问,我们要始终确信,在我们应该掌握的知识范畴内,只要研究导数,就一定是研究导数与0的关系,这样我们也就清楚了单调性、极值点的问题了,对于分类讨论,是因需要才讨论,不是去欣赏怎样讨论对不对的问题,而是解决为什么要讨论的问题,很明显,弄清楚了两个因式m(x),n(x)与0的关系,我们得到了关于参数a的一级讨论点“0”,但又无法区分两因式与0的关系,需要比较Ina与0的大小,从而得到了关于参数a二级讨论点“1”,综合起来,即对以的讨论分为a≤0,O1.这就是规范的思维总结.

规范、灵活的数学思维的养成,对导数与函数大题的解决起到了至关重要的作用.我认为在平常学习中应做到以下几点:

1.数学思维的养成,需要做到“整理、思考、练习”,步步为营.平时多问自己几个为什么,加强对解题步骤中细节的揣摩,将其思想融人心中,才能在旧题型上做到既快又准,在新题型上有所突破.

2.数学学习是一个循序渐进的过程,问题的深入也是思维的升华,不断地自问自答、平时多独立思考、总结并积累自己的解题模式并加以必要的练习,才能在考场上游刃有余.

如果说数学考试是一场思维的博弈,那函数与导数便是其最精彩的部分,愿我们一起静下心来,去感悟数学思维的魅力,在探究数学的过程中找到自己的乐趣!

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