浅谈随机事件独立性的性质

马丽琼 左东

摘 要：随机事件的独立性无论是在实际应用还是理论研究中都有着十分重要的意义。除了“补运算不改变事件的独立性”这一性质外，随机事件的独立性还具有更一般的性质。本文以四个事件相互独立为例，最终给出在一定条件下，事件的和、差、积、对立等运算不改变事件的独立性这个更一般的性质。

关键词：随机事件；独立性；性质

随机事件的独立性无论是在实际应用还是理论研究中都有着十分重要的意义。在多数《概率论与数理统计》的本科教材中，关于随机事件独立性的性质，都只给出了 “补运算不改变事件的独立性”这一条，即把一个独立事件组中的某些事件换成其对立事件，新的事件组仍然独立。而理论上，随机事件的独立性有更一般的性质。本文通过举例的方式来给出这个更一般的性质。

定义：对于n个事件A1，A2，…，An，若对于所有可能的组合1≤i

都成立，则称事件A1，A2，…，An相互独立。

特别地，两个事件A与B相互独立的充分必要条件是 。

假设事件A1，A2，A3，A4相互独立，现在把这四个事件分为两组：A1，A2一组，A3，A4一组。从而可得：

由此得出事件A1与事件A3∪A4相互独立。类似可得事件A2与事件A3∪A4相互独立，进一步可得事件A1A2与事件A3∪A4相互独立。同理可得事件A1A2与事件A3∪A4相互独立，又由差事件A1-A2=A1A2可知事件A1-A2与事件A3∪A4相互獨立。

从而可得A1∪A2与A3∪A4相互独立。

可见，把四个相互独立的事件分成两组，同一事件没有同时属于两组。每组内的事件不管进行了和、差还是积的运算后，得到的两个事件仍然是相互独立的。

将以上结论推广至一般情况，有如下结论：

若事件A1，A2，…，An相互独立，则将其分为 组，同一事件不能同时属于两组，则对每组任意进行和、差、积、对立等运算后，所得的m个事件仍然相互独立。

特殊情况：若事件A1，A2，…，An相互独立，则将其中任意m个事件换成其对立事件后仍然相互独立。

例：设A，B，C，D为相互独立的四个事件，则下列四对事件有可能不独立的是（ ）

（A） 与 （B） 与

（C） 与 （D） 与BD

分析：由A，B，C，D相互独立，把A，B分为一组，D，D分为一组，从而利用上述结论，可知选项（A）与选项（B）中的两对事件相互独立，同理把A，C分为一组，B，D分为一组，可知选项（D中两个事件相互独立，从而可得答案应选择（C）选项。

随机事件的独立性的一般性质告诉我们，在一定条件下，事件的和、差、积、对立等运算不改变事件的独立性。有了这个性质，我们就可以利用它来直接判断一个独立事件组里的若干事件进行各种运算之后是否还满足相互独立，而不再需要利用定义来进行推断了，这就为我们节约了大量的时间和精力。

参考文献

[1]刘赪，程世娟，赵联文，何平，概率论与数理统计[M]，科学出版社，2011年6月.

[2]曹显兵，概率论与数理统计辅导讲义[M]，西安交通大学出版社，2010年5月.

作者简介

马丽琼（1979-），女，汉族，四川峨眉人，研究生学历，就职于西南交通大学数学学院公共数学教学研究部峨眉教研室，讲师，理学硕士，研究方向：应用概率统计。