如何在结论教学中让学生主动探究——由椭圆一个例题引起的思考

陈雄飞

（湖北省孝感市第一高级中学，湖北 孝感）

本文从讲解圆锥曲线中的椭圆这一节的诸多性质入手，以例题为载体，以一题多解、一题多变为手段，来谈谈圆锥曲线学习中如何让学生有机会自由表述、探讨问题，从而提高学生学习兴趣，发展学生的思维能力。

一、教学主要环节

学生思考，并解答。

∴当x=0时当x=±2时，|PO|max=2

当 cosθ=0 时当 cosθ=±1 时，|PO|max=2

师：这两位同学都是通过建立目标函数求最值，不同的是前者利用二次函数，后者利用三角函数。

思考1：此题的结论可否推广到一般？学生思考并探究后得到：

结论1：椭圆上任一点P到原点O的距离最近的点为短轴端点，最远点为长轴端点。

师：从变式1我们可得到

结论2：椭圆上任一点P与焦点距离最近（最远）的点为长轴端点。

解：设|PF1|=x|PF2|=2a-x=4-x

由变式 1中得的结论，x∈［1，3］

结论3：椭圆上任一点P与两焦点所成夹角为最大角时，P为短轴端点。

练习1：椭圆上存在一点P使，求椭圆离心率的取值范围。

练习 2：设F1、F2为椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，使∠F1PF2=90°，求△F1PF2的面积。由上述结论容易求得S△F1PF2=20tan45°=20。

结论4：设椭圆上动点为P，两端点为A1、A2，则使张角∠A1PA2最大（最小）的点P为椭圆短轴（长轴）的两个端点。

二、几点思考

在该课例的探究活动中，首先通过第一道例题让学生搜寻知识储备，巩固解决圆锥曲线求最值问题的一般方法——建立目标函数（或目标不等式），让学生充分思考，一题多解，并由此例题得到结论，同时进行变式探讨，一题多变，变式1与例题问法类似，是在知识的联结点上的探究，学生容易进行类比、迁移，能够独立完成，加深了对知识点和基本的思想方法的理解。在这些探究中，较多的是以对话的形式展开的。变式2的提出，对学生具有一定的挑战性，但思想方法也是建立目标函数，问题提出时可以引导，并由此得到两组常用结论。最后再提出变式3并得出结论。

选择例题变式的探究教学主要是希望“学生能够带着问题轻松步入课堂，在愉快且又适度的紧张中学习（探究）；又要让学生带着新的、更高层次的问题走出课堂，在自由自在中研究（学习）、发展”。因为例题变式探究教学主要是围绕某数学问题（例题）而展开的，问题是课堂活动的载体，因此实施中选好例题尤为重要。

在结论教学中实施变式探究，是新课程转变教学形式的要求，一要减少教师的讲授；二要多进行学情分析，关注学生的差异性；三要尽可能满足学生自主发展的需要，在教师的组织和必要的引导下，让学生自主发现规律，自主探寻方法。经常实施这种探究，能使教学焕发出勃勃生机，能使学生在探究中显示自己的才华，教师自身也可以在实施探究活动的过程中获得更好的发展。