灵活运用知识多种思路解题

数学题浩如烟海，我们不可能把所有题都做到，与其做很多题，不如把一道题做透，用多种不同的方法解决同一道题，对解题者的思维锻炼效果极佳。下面针对一道不等式问题采用多种不同的方法加以证明，与大家共享。

题目：设a，b，c都是正数，求证： .

证法一：（比较法）

左边 右边= ]

所以原不等式成立.

评注：只需要证明左边 右边 .

证法二：（综合法）

由基本不等式得： ） c，

） a， ） b

三式相加得： . 故原不等式成立.

评注：利用均值不等式 （a>0，b>0）证明.

证法三：（利用柯西不等式证明）

=

两边开方得： . 故原不等式成立.

评注：柯西不等式是经典不等式，其基本形式为：

本题中将待证的不等式左边配方，使之成为柯西不等式的形式，再加以证明.

证法四：（利用排序不等式证明）

式中a，b，c轮换对称，不妨设a ，则有

a ， ，由排序不等式得：

a （顺序和） （乱序和）

化简得： . 故原不等式成立.

评注：排序不等式也是经典不等式，它具有明确的大小顺序（或者大小顺序不明确但具有轮换对称性），且字母个数相同的两列数，在考虑它们对应项乘积之和的大小关系时经常使用，证本题的关键是：发现a，b，c具有轮换对称性，并构造出两列具有明确大小关系的式子，再依据“反序和 乱序和 ”证明.

作者简介

李金莲，女，生于1980年，于2004年毕业于西北师范大学数学系，2008年取得教育硕士学位，现在古浪一中担任数学教学工作，中学一级教师。

（作者單位：甘肃省古浪县第一中学）