小问题，大智慧

梁燕

我们从一个小问题说起.

问题 解方程：（1） sinx+√3 cosx=O； 2） sinx+√3 cosx=1

一、发现特性，多方切入

对于这个问题，文墨、宇轩、思远三个好朋友进行了一番热烈的讨论，苦思冥想仍存在些许疑惑，于是找到了老师.

文墨：式子（1）左右两边同除以COSx，转化为一个函数名，得tanx√3=o.

宇轩：你的方法对齐次式是可行的，对非齐次式不可行.如（2）式，同除以COS z后会出现1/cosx与tanx，不能达到消元的目的.因此这个方法不具备一般性.

宇轩：对于式子（2），既然是关于sin x与COSx的方程，我想到了同角三角函数关系公式，可以联立方程组，通过解方程组求出sinx與COS x

思远：宇轩的方法具有一般性，可是解方程组计算量大，我有更简单的方法.化简等式左边，sinx+√3cosx=2（1/2sinx+√3cosx/2）=2（sinx cOsπ、3+COS xinπ/3）一2sin（x+π/3），方程即为2sin（x+π/3）=1，sin（x+π/3）=1/2，从而可得解.

文墨：厉害！首先“乘2除2”构造特殊角三角函数值，再逆用两角和的正弦公式化为和角的三角函数式.你是怎么想到“乘2除2”的呢？

思远：观察等式，联想到刚学过的两角和的正弦公式sin（x+y） = sin xcosy+COSxsin y，发现sinx+√3cosx与公式右边的结构相似，公式中sin x与COS x前面的系数分别是cosy和siny，两者平方和为1，而“1”与“√3”不满足要求，但如果是“1/2”与“√3/2”就可以实现公式的逆用，于是我提取2.

宇轩：原来是两角和与差的正弦公式的逆向变形，看来以后要学会逆向思维.不过刚才的“1”与‘√3”比较特殊，可以凑出平方和为1，那3cosx+4sinx怎么办？形如asin0 +bcos0，是否都可以写成y =Asin（ωx+ψ的形式呢？

文墨：解方程问题可以转化为函数问题，对于特殊情形，我借助几何画板，在同一坐标系下作出f（ x）=sinx，g（x） =√3cosx.h（x）=sinx+√3cos x的图象，如下：

观察到合成的函数图象接近正弦型函数图象y=A sin（ωx+ψ），对于其他asin臼+bcosθ，我觉得应该都可以写成y=Asin（ωx+ψ的形式，

老师：针对这个小问题，大家提出的想法都别具匠心！思远提出的“乘2除2”的方法，很是奇妙！他把同角的两个不同的三角函数合成一个三角函数，这种“分”、“合”的辩证关系是处理数学问题的重要思想，而逆向思考问题也是数学学习中一种重要的思维方式.除此之外，文墨还提出了利用函数与方程的思想，转化为画函数图象去分析问题，都值得表扬，

二、挖掘本质，提炼升华

三、灵活运用，巩固提升

点评

辅助角公式的目的在于将三角式化为一个三角函数的形式，由此可以展开对三角式相关性质的研究，比如单调性、周期性、有界性，它在解决问题时起到一个重要的桥梁作用，它是我们解决与三角有关的函数问题的重要变换手段.辅助角公式的目的是化简三角函数式，在实际中结果是化正弦还是余弦要具体问题具体分析，不必拘于结论的形式，搭配好对应的三角函数公式.如该题还可以化简为f（x）=-2cos （2x+π/6）+√3-1.

“辅助角公式”能够合二为一，解决了不少三角函数问题.所谓“二合一”，就是利用辅助角公式把同角的两个不同的三角函数“合成”一个三角函数.其本质的特征就是通过转化，化为一个三角函数，再根据换元法，转化为基本三角函数问题，为进一步研究其性质（周期性、对称性、单调性、值域）打下基础.大家可不能小瞧它的作用！

巩固练习

1.已知2cos2x +sin 2x =A sin（ωx+ψ）+b（A>0），则A=_____，b=_____.

2.函数y=sinx-√3cosx图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移______个单位长度得到.

参考答案

1.√2，1. 2.π/3