折纸与数学

陈昱萌

乐极生悲，上个星期因为自己的不自律，和几个同学在物理课上折纸飞机，被班主任发现了，罚折了400个千纸鹤和90个球体基本型，折得我是手酸得不行.数学老师说数学和折纸有着千丝万缕的联系，我觉得吧，折纸不就是无聊时候的消遣或小朋友玩的东西吗？周末，老师让我们回家写一篇数学小论文，我第一时间就想到了折纸这个话题.

折纸艺术起源于中国，义称“工艺折纸”，是一种用纸张折成各种不同造型的艺术活动.在大部分的折纸比赛中，要求参赛者以一张无损伤的完整正方形纸张折出作品.现在折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展为现代几何学的一个分支.折纸已经慢慢发展为一类儿童玩具，是有益身心、开发智力和思维的活动，还是一个和平与纪念的象征手段，当然也是一个极佳的消遣方式.

我有点似懂非懂，与文字相结合，便想着动手尝试.我拿出来一张便利贴折千纸鹤，千纸鹤千颗心在我心头飞.

第一步：一张正方形的纸，横折一次，竖折一次，对角各折一次，这样就留下一个“米”字形的折痕，方便下一个步骤的制作.

第二步：沿着折痕把正方形对折两下，成了一个小正方形，将可以数出有四层纸的那个角当成顶角，沿着对角线折痕折过去，翻开来，你就会发现上面出现了你想要的折痕.

第三步：沿着上图描粗折痕将纸鼓起来，然后沿着对角线折好.将两边的“鹤翅”折下来，里面的“头”折小一点，“尾巴”折大 一点.

1.正方形纸沿折线对折

2.再对折

3.打开袋子并压平

4.翻转

5.再打开另一个袋子

6.两边折向中间

7.将盖子折下，往上拉开

8.全部打开还原

9.利用制造出来的折痕将上面一片往上拉开

10.拉开过程中将两边折向中间

11.对齐中间压平

12.翻转

13.背面重复步骤6 -11

14.对齐中间折

15.翻转

16.再对齐中间折

17.头及尾巴向内从中折

18.头部再向内从中折出嘴部

19.翅膀向两旁拉开

20.纸鹤完成

一只小巧的千纸鹤就折好了，这里面有些什么数学知识呢？

首先，折纸有很多对折的步骤，对折也是折纸中最基本的操作，这都运用了正方形的对称性，折出来的图形也都有对应的一个或几个全等图形，正因这两点，折纸大多用正方形的纸张.当然，真正的高手，对纸张的材料和形状要求是很低的，他们更善于就地取材，任何一种形状的纸，几分钟后就成了一件工艺品.

其次，在第二个步骤中，将正方形对折两次.其实第一次对折，一个正方形会变成2个长方形，第二次就是4个.如果你继续对折，8个，16个，32个……有没有觉得这串数字很眼熟，这就是2的n次方，和我们最近在学的等比数列有密切关系.

通过上面的折纸活动，我发现生活中无处不蕴含着数学知识，只要你有一双善于发现的眼睛.当折叠纸张的时候，我脑海中会情不白禁地出现好多几何和代数的概念：对称，正方形，三角形，全等三角形……这中间蕴含的几何知识可不少，通过各种折纸实践，几何问题做起来也会更加得心应手，它能加强我们的空间空间想象能力，当你看见一道几何题，脑袋里就会会浮现出那个图形，这在今后的立体几何学习中是很重要的.反过来说，如果没有很好的数学基础，稍有偏差就折不出富有美感的模型来.想做好折纸这项手工艺术活，也必须认真学好数学，研究数学规律，才会创造出更多的新作品来.

接下来我们来看一道与折纸有关的数学问题，学以致用嘛，

例 小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿一条过点B的直线BH折叠，使点C落在直线AB上，然后，再沿过点B的直线BE折叠，使点C落在直线BH上，还原后，这样就可以求出67.5°角的正切值.

分析学习了必修四的三角函数后，tan 67.5°我们已经会求了，但今天我们可是动手“折”出来的，境界不一样！

解析如图2.

通过上面的动手实践和思考，再到实际问题计算，你有没有发现折纸的魅力呢？

折紙可启发我们的创造力和逻辑思维，更可促进手脑的协调.折纸还可以丰富我们的生活，使我们的生活变得更加绚烂多彩.只要肯动手动脑，或许你也会成为一名折纸的粉丝.