数学理解的基础：了解“是什么”

刘开来

似乎从懂事起，数学就伴随在我们的左右.虽然，很多人不太喜欢数学，只觉得它抽象难懂、枯燥乏味，但是，不论大家再怎么不喜欢，它都会一直忠心地陪伴我们成长.在学校里，我们学习数学的时间最多，并且如果课上讲的内容理解不够，课后还得花大量时间去苦思冥想、艰难探索；回到家里，家长关心我们时也总会问“老师讲的数学理解吗？”“理解数学”成为我们数学学习首要任务.笔者作为一名高三学生，正经历着高考的一轮复习，深感核心概念的理解的重要性：我们要理解数学，首先要了解其中核心概念“是什么”.本文拟以《解三角形》《数列》中三组核心概念为例，分别探索其本质.

一、正弦定理和余弦定理的本质

新课时，我们先通过对直角三角形边角关系的归纳，得出直角三角形边长与角度的一种关系，进而经历探索、猜想、发现并证明了正弦定理；通过向量的数量积将向量等式化为数量等式，得到余弦定理.

老师这样处理促进了我们对正弦定理和余弦定理的“数学理解”，有利于提升我们的归纳、猜想能力，体会向量方法在解三角形中的作用，学习完这部分内容后，我们对这两个定理的本质还可以认识得更深刻些：

两个定理均是关于边角的等式.

本题其实还是一类典型问题：已知两边和其中一边的对角，如何判断三角形解的个数？

例2 已知a，b，A，试讨论△ABC解的个数.

思路1 判断三角形解的个数，关键在于判断“角B”的个数.我们可以先通过下图来理解所有的可能.

思路2 如果用“正弦定理”結合“大边对大角，大角对大边”定理在实际解题时，操作会简单些.以A为锐角为例：根据sin B=b/asin A，求出： sin B的值.（1）如果sin B>l，三角形解的个数为0个；（2）如果sin B=l，三角形解的个数为1个（直角三角形）；（3）如果sin B

二、等差数列和等比数列的本质

理解“等差数列”与“等比数列”这两个高中数学的重要内容，首先要理解等差数列、等比数列的概念“是什么”.以等差数列为例，我们可以分别从定义、通项公式a_n、前n项和S_n