雪泥鸿爪：时间里埋藏不了的经典题

孙毅坚

时间可以磨灭棱角，可以滴穿磐石，可以让当年执笔冥思的少年成为一位父亲，但智慧的光芒凝汇在岁月中，却能一代代留存下来，直至今日依旧让我们领略到数学所绽放之美.

这个暑假我遇见了不少有趣的经典老题，在这里分享两道，首先，来看这道1975年南斯拉夫的数学竞赛题.

例1 在圆周上按任意顺序写上4个1与5个0，然后进行下面的运算：在相邻的相同数字之间写上O，而在不同的相邻数字之间写上1，并擦掉原来的数字，接着进行同样的运算，如此继续.证明：不管这种运算进行多少次，都不可能得到9个0.

思路分析根据题目“任意”的条件，无法确定起始排列，所以很明显，本题应从反面人手，通过反证解答，同时也敏锐地捕捉到“4+5 =9”提供的一个奇数应也有相应的作用，假设经过若干次运算最终得到9个0，那么上一步应是什么数字？再上一步呢？以此类推会不会产生不符合题干的局面？至此，本题已有眉目.

解答过程 假设进行了数次运算，第一次得到9个O，由条件知在相邻的相同数字之间写上0及第一次可推出上一步应为9个1，那么更上一步应为环状排列的O，1相间，但9为奇数，不可能使O与1数量相等，矛盾产生，可知假设不成立，则结论得证.

反思感悟其实就难度而言本题并不大，但它富有灵性的思路让人会心一笑；除了计算，数学更多的是强大的理解和轻盈的思维.灵活与严谨，是数学的戟与盾，踏上战场哪一边都不能少.

那么，接下來加大难度，来看这道1 986年中国数学奥林匹竞赛题.

例2 能否把1，1，2，2，3，3，…，1 986，1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着2个数，…，两个1986之间夹着1986个数？请证明你的结论.

思路分析一眼看去，本题仿佛是道非常庞大的题目，稍微将前几个列举一下，并不能得到什么规律，因此思路义回到了结论上.同样，本题的答案应为否，通过反证得出结果，大量的数必然需要排序寻找规律，分两头运用结果的矛盾性进行否定，整理运算找出潜在性质，本题可以开始解答.

解答过程 假设能排列成，将各数分别编号，由1至3972.

所以原命题为否.

反思感悟这道题十分地经典，引申出后来许多竞赛题，更是有一套自己的一般性结论，回顾解题过程，本题主要在于如何下手，正所谓“这条数学题已经超出了我的语文理解水平”，一旦确定后续问题便势若破竹迎刃而解了.再看思路，可以发现在假设反证、奇偶性分析等方面，本题与例1都有许多异曲同工之处.反证法在数学中经常运用.一般来讲，反证法常用来证明正面证明有困难，情况多或复杂，而逆否命题则比较浅显的题目，问题可能解决得十分干脆.反证法的证题可以简要地概括为“否定一得出矛盾一否定”.即从否定结论开始，得出矛盾，达到新的否定.

1986年，这是个远义不远的年份，巧合的是，当年的父亲正和如今的我是同样年纪.三十多年流去，教材更新，许多琐碎的纸页章节泛了黄、卷起角，可这短短几行的数学题，却越过时光的溪川，一路捧到我的面前，依旧闪烁着它亘古不变的灵性之美，宛若惊鸿一瞥.