中学数学定理、公理运用的实践与研讨

江苏省徐州市贾汪区建平中学 王 艳

“对顶角相等”“凡直角都相等”“三角形三个内角的和等于180°”等都是数学定理。数学定理反映了条件和结论之间的一种必然联系，它是从生活发展起来的。《周髀算经》里就有“勾三、股四、弦五”说法（即 c2=a2+b2），这就是勾股定理，它是特殊性的判断。后来随着生产的进一步发展，人们又从实践中概括出三角形三边余弦定理，即c2=a2+b2-2abcosC。这是一般三角形三边的基本关系式，是勾股定理的推广，它是普遍性的判断。从这里可以看出，数学定理来源于实践，而且一般都经过辩证发展的过程。

数学中一些定论是经过人们亿万次实践直接证实的，这样的命题叫做公理。如“整体大于部分”“若两个量分别等于第三个量，则它们也相等”等都是数学公理。

公理最早出现在欧几里德几何中。当时，随着生产实践的发展，人们关于空间形式的知识越来越丰富，从理论上加以概括和总结显得十分必要。欧几里德综合了人们认识的成果，写出了《几何原本》一书。这本书从点、线、面等最基本的概念和最简单的关系出发，从外部世界引进了这些概念和关系的某些性质作为公理。从公理出发，借助于几何图形的直观，应用形式逻辑的演绎推理，把形的其他性质推导出来。这些几何公理，在理论形式上，是逻辑推理的大前提。

在数学中，从逻辑推理的角度看，实际上公理不是没有证明过的，更不是不能证明的。公理是人们长期以来从生产实践中总结出来的结论。因此，它们是可以辩证地证明的，是经过长期实践的反复证明才取得公理资格。所以，只看到公理在数学上无法证明的一面是片面的，还必须看到公理可以辩证地（即实践地）证明的一面；只看到公理形成后演绎的一面也是片面的，还必须看到在实践中归纳的一面。

从数学发展历史来看，最初由欧几里德给出的初等几何公理系统，由于认识水平的局限。当时他还没有可能深入地从一般意义上去研究公理系统的构造，研究公理化方法的理论，因而给出的公理系统还存在着不少缺点。例如，在欧氏几何的公理系统中，有些定义和公理是不必要的，有些定理的证明是不严格的。从这个意义上来说，欧几里德几何只能说是公理化的一个雏形，其中体现的公理化思想还是朴素的、原始的。

到了十九世纪末，希尔伯特克服了欧氏几何公理系统中的缺点，形成了加工、整理数学经验资料的公理化方法。希尔伯特把公理系统结构的基本特性概括为五个方面，我们不难看到，公理和由它发展而来的现代公理化方法，是数学发展一定阶段的产物，是一种有效的科学方法。现代数学的各个分支，一般都用公理化方法建立自己的严谨体系。例如，概率论开始形成时，实践性很强，后来也公理化了，这是认识过程中一个进步。上世纪四十年代，德国布尔巴基学派在整个数学中找出几种基本结构——序、代数、拓朴等，并在这些基本结构的基础上，把全部纯数学加以整理，建立各种各样的公理化体系，这个工作对于促进数学的发展有着一定的积极意义。

我们把“特殊化”作为实现化归的途径之一。因为相对于一般来说，特殊的事物往往包含人们较为熟悉的信息，这些信息的引入所产生的条件强化，显然满足熟悉化、简单化的策略选择原则；但有时人们对一般的事物比较熟悉，而对特殊的事物反而比较生疏，所以，我们把“一般化”也作为实现化归的途径，例如，把方程不等式转化为求函数的零点与符号区间，母函数法以及在解析几何中把特定的曲线方程转化为考虑某个曲线系方程等，都是一般化归策略的表现。

我们研讨定理、公理的来龙去脉，目的是为了更好地运用，如可以优化结论的推导过程，培养分析综合能力。

例题：推导“等比数列的前n项和公式”。推导的方法很多，方法一、二略。

方法三：运用定义，结合等比定理设计如下推导方法：

方法四：整体代换法：Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1)－a1qn=a1+qSn－a1qn，当 q=1 时，Sn=na1，

运用定理、公理，可以优化思想方法的渗透过程，培养学生理解应用能力。

如求值sin2200+cos2800+·sin20·0cos800（如图）。分析观察所求代数式结构特点联想余弦定理表达式。BC=ksin1500=sin1500，取得 k=1，AC=ksin200=sin200，AB=ksin100=sin100，根据余弦定理 ：原式 =sin2200+sin2100-2cos1500·sin20·0sin100=sin21500=3/4

这题解法，不仅简捷、巧妙，还渗透了数形结合方法。

当然，我们不能把公理化方法绝对化。必须辩证地看到，公理的作用是有其局限性的。前苏联旺塞宁·沃尔平强调指出要把公理方法立刻推广到所有的数学领域中去，但有的数学家则认为，就总体来说数学不能全部都公理化，我们只能谈论有关一些个别数学理论的公理体系，不能把大量的问题都归于某种法则之中，有的要用特殊的方法加以解决。正如前苏联科尔奠戈罗夫所说，能够找出不同于一般法则的解题程序是数学思维的基本特点之一。