软I-代数

董 丽，孔祥智，吴 聪

江南大学 理学院，江苏 无锡 214122

1 引言

近几十年来，研究不确定性问题的新型工具主要是1965年Zadeh提出的模糊集理论以及随后发展起来的粗糙集等数学理论[1]。1999年Mololdtsov指出这些理论在处理某些问题时都有各自的不足之处[2]，由于他提出的软集概念对事物的描述没有限制，从而不仅能够覆盖上述概念，也能够克服上述概念的缺陷。而后Maji等[3-6]深入研究了软集理论与模糊软集理论。Maji[7]、Kong[8]、Feng[9]等利用软集的概念，研究了软决策问题的理论及算法。软集与已有的代数概念相结合，不但获得代数研究的新思路，同时为软集的深入研究提供了理论基础，如软 BCK/BCI代数[10]、软群[11]、软半群[12]等。这些模糊数学概念为解决经济学、工程学、社会科学、医疗科学等复杂的不确定问题的决策提供了有力的工具。I-代数（Incidence Algebra）的概念首先由Rota[13]提出，由于其在组合数学的应用价值，一直是代数学研究领域的热点之一[14-17]。本文首次将I-代数与软集相结合，提出软I-代数的概念，并研究其基本代数性质，为进一步研究打下基础。据文献[14]，I-代数的定义为：

称I(X,K)为X上的I-代数。

无论是软集还是I-代数，它们都有很好的理论及应用价值[18-20]。本文试图将软集和I-代数联系在一起，这样做不仅可以把二者的研究方法及理论应用到对方的研究中去，还能为二者的研究提供新思路，并为以后的深入研究奠定基础。

2 预备知识

定义1[1]设U为初始全集，E为参数集，P(U)为U的幂集，且A⊆E。 fA:E→P(U)满足条件，对x∉A,fA(x)=φ的映射，称

为U上的软集，简而言之，软集是指标化的幂集。

以下如无说明，总记B为一非空偏序集，B的幂集记为 P(B)，μ:B×B→P(B)为 B2=B×B上的软集，即该软集的指标集为B2,若软集μ满足：

（1）μ(x,y)⊆[x,y]={u∈B,x≤u≤y}，当 x＜y时；

（2）μ(x,x)={x}；

（3）μ(x,y)为空集，其他。称μ为B2上的有限软集。

定义2设B、C为非空偏序集，μ、ν分别为B2、C2上的有限软集，称一一映射 f:B→C为软同构映射。若对任意的 x,y∈B，有 f(μ(x,y))=ν(f(x),f(y)),也称 μ 与ν同构。

设K为域，μ为B2上的有限软集，I(B)为B2到K的映射的全体，如下定义I(B)上的加法与乘法：

称I(B)为B上的基于K的软I-代数，简称软I-代数，而称μ为I(B)的基础软集。

例1若在局部有限偏序集X上定义基础软集：当x≤y时，μ(x,y)=[x,y]，其余的 μ(x,y)均为空集，则该软I-代数的一个子代数即为Rota定义的I-代数。

3 主要定理及证明

设K为域，μ、ν分别为偏序集B、C上的有限软集，而I(B)、I(C)分别为B、C上的软I-代数，将证明如下主要结果：

定理1 I(B)与I(C)同构当且仅当偏序集B、C同构且μ与ν同构。

在软I-代数I(B)中有乘法单位元σ，这里：

在 {φα:α∈A}上定义一个偏序关系，即，若 φψ=0 ，称 I(B)中

记B={xα,α∈A}，其中A为B中元素的下标集，并如下定义φα∈I(B)：的两个元素φ、ψ正交。若I(B)中的元素φ不能表示成两个非零正交幂等元素的和，称φ是本原的。关于φα(α∈A)，有如下五个引理。

引理1（幂等性）

证明对 xβ,xγ∈B ，由 φα的定义及有：

引理2（正交性）

证明对xβ,xγ∈B，由定理知：

即命题成立。

引理3 φα(α∈A)是本原性的。

证明设φα=f+g，这里 f、g是非0正交幂等元，故gφα=φαg=g ，再 ∀xβ,xγ∈B ，g(xβ,xγ)=gφα(xβ,xγ)，只有α=β=γ时，才可能g(xα,xα)≠0又g≠0,故 g(xα,xα)≠0。同理 f(xα,xα)≠0。这样 gf(xα,xα)≠0，这与 g、f正交相矛盾，故有g=0或 f=0，这又与假设矛盾，因此φα是本原的。

引理4（极大性） {φα:α∈A}是极大正交本原幂等元集。

证明设也是非0本原正交幂等元集。由幂等性知 f2(xα,xα)=f(xα,xα),从而有 f(xα,xα)=0或 f(xα,xα)=1 。 由 正 交 性 知 f(xα,xα)=fφα(xα,xα)=φαf(xα,xα)=0 ，故 f(xα,xα)=0 。同样由正交性，对任意的 β,γ∈A，有：

则g、φβ为正交幂等元集且 f=g+φβ。这与{f:f∈I(B)}是另一极大本原正交幂等元集矛盾，故至多存在一个α∈A 使得 f(xα,xα)=1 ，其余 f(xβ,xβ)=0 。若对任意的 α∈A有 f(xα,xα)=0 ，则当 μ(xα,xβ)={xα,xβ}时，有：

同样由 f的幂等性及卷积的定义，可以利用归纳法证明对任意的 xα、xβ,f(xα,xβ)=0 ，这与 f 为非零元矛盾，从而存在唯一的α∈A，使得 f(xα,xα)=1，而对其余的 β∈A，f(xβ,xβ)=0，记此 f为 fα，这样可记极大本原正交幂等元集 {f:f∈I(B)}为 {fα:α∈A}，即 I(B)中极大正交本原幂等元集的势相同。

定理1的证明：

首先，在 I(B)的极大正交本原幂等元集{φα:α∈A}

故 f=0，这与假设矛盾。故{φα:α∈A}是极大非0正交本原幂等元集。

引理5 I(B)中的任一极大正交本原幂等元集的势相同。

证明设{f:f∈I(B)}是另一极大本原正交幂等元集。由幂等性 f2=f 可知 f(xα,xα)=0 或 f(xα,xα)=1 。若存在 α≠β ，使得 f(xα,xα)=1，f(xβ,xβ)=1，令：上定义偏序“当且仅当，由,知偏序“”满足自反性，若 xα≤xβ,令：

（1）σ=φασ+σφα+σ2

（2）υ=φβυ+υφβ+υ2

令τ∈I(B)，则有：

由于 φατφβ=0。将（1）、（2）替换上述等式中的 σ、v，可得：

再用式（1）、（2）替换上述等式中的 σ、v ，可得gατgβ∈J4。经过一系列这种代入运算，不难归纳得到gατgβ∈J2m。又因为，所以 gατgβ=0 。

这样证明了软I-代数I(B)的极大正交本原幂等元集上的偏序在同构意义下是唯一的，均与(B,≤)同构，从而由。在此结果下，软集。故定理的必要性成立。由定义知，充分性是显然的，证毕。