例谈导数教学的几个突破点

☉江苏省平潮高级中学 陈云芬

众所周知，导数是解决函数问题的重要工具．以微积分初步知识起步的高中导数，极为细致地讲述了导数的概念、导数在切线问题中的应用、导数对于函数问题解决的重要作用（导数正负性对于函数单调性的影响及求最值的作用）等．但是学生在导数学习中并没有能够学得非常扎实，其往往在教学中存在较大的困难，导致教师导数教学较难进行，这主要涉及几个原因：

第一，中学数学教材中的导数是不完整的导数，其缺失了极限知识为背景，导致导数真正的“微”这一概念未能有效形成，让不少导数相关概念在学生脑海中模棱两可.比如，为什么在某些点处是不可导的？为什么切线是用割线的极限位置去定义的？极值是微小量的概念等．学生学习起来困难重重，这是教材体系的问题.

第二，缺乏必备的极限知识，导致公式的证明没有办法进行，很多导数公式是要求学生强行记忆的，这样的数学教学可想而知，这已经成为强行背诵公式，谈何理解？谈何运用？数学知识是理解性的记忆（章建跃博士语），如今的导数教学起步阶段较为困难.

第三，导数是一种工具，解决更为复杂函数的工具，运算是首要保障，但往往有时候导数基本功不扎实，导致无法进一步求解.

最后，导数问题的研究其本质是函数问题的研究，这里最核心的难度还是在于函数问题的研究，这里的数学问题解决能力比对函数问题的思考更需要教师关注，本文结合案例给出一番自己的思考．

一、切线的突破

中学数学以往对切线的研究方式方法比较局限，而且曲线类型也比较局限，一般只能针对二次类曲线．有了导数工具之后，我们对曲线的切线认知也大大推进了一步．用来表述割线的斜率，进而用极限的思想来无穷小，获得了切线的概念，因此切线的求解成为导数教学的重要关注点．

（3，1）处的切线方程．

分析：本题是求曲线在某点处的切线方程，是学生需要掌握的基本问题．

简解：因为y′=x2-2x，所以k切=9-6=3，而切点为（3，1），所以切线方程为y-1=3（x-3），即y=3x-8．

分析：学过导数后，我们知道了相切仅仅是一个微小的概念，是指该点的附近．因此本变式思考的方式已经不同于例1，要从该点是否是切点的角度去思考，显然更为复杂．

所以切线方程为y=1或y=3x-8．

设计意图：将变式与原题进行了对比，并采用图形的方式进行了感官再认知，我们不难发现，经过该点的切线，该点并不一定是切点，这是审题发现的最大差别．有了上述两个问题的基本功之后，切线教学需要向更有深度的问题前进，即如何转化！

二、分类讨论的突破

分类讨论对于函数来说是一种较为平常的数学思想.导数的工具性作用主要体现在两个方面，其一是如何选择函数的分类，其二是为什么这么分类．不同的函数选择，对于求导和后续求解都有一定的影响，要突破分类讨论，既需要一定的前瞻性，还需要函数的深厚功力．

例2已知函数f（x）=plnx+（p-1）x2+1，当p>0时，讨论函数f（x）的单调性．

综上，实数a的取值范围是a≤0.

变式2已知函数f（x）=x2-x+alnx（a∈R），讨论f（x）在定义域上的单调性.

设计意图：利用导数解决函数的分类讨论，其实更为本质的是对函数问题的分析.本题以中学数学的重要函数——二次函数为例，从二次项系数、一次项系数等环节进行了分析，理解各级字母对二次函数分类的影响是学习二次函数问题分类的关键，从这一点来说，导数教学还需要与二次函数教学紧密结合，获得更多的实践操作，加以积累.

总之，导数问题是一个综合性的知识能力运用的节点，需要教师更多地以专题的形式展开教学，才能在难点中有所突破.笔者才疏学浅，仅仅以这些浅显的问题抛砖引玉，希望能从读者处获得更好的教学效益.