导数求解两类无理函数值域*

☉江苏省新海高级中学 宋秀云

导数进入中学教材后，改变了一些问题的求解方式，如有关复合函数的单调性问题，高次函数的值域问题，都可以通过求导直接解决.本文应用导数解决两类常见的无理函数的值域，现举例说明如下，供参考.

对于a+d=0的情况，最好的解决方法是平方法，即f（x）由于（ax+b）（c+dx）是关于x的二次式，易知其单调性，所以函数f（x）的值域容易求得.

对于a+d≠0的情况，平方后ax+dx消不去，其单调性还是无法确定，所以仍需另寻其他方法.常用方法有：

1.双换元法

圆在第一象限（含上顶点和右顶点）的部分，于是将原问题转化为直线与椭圆的位置关系问题，利用数形结合和线性规划知识解决求得m+n的范围.

2.向量法

从不同角度思考：解法1通过换元转化，变成直线与椭圆位置关系求解；解法2变换转化成两向量内积.两种方法都对原问题进行转化，都要用数形结合分析，都是一种变换与构造“技巧”，而用导数可以直接解决其单调性问题，无需任何技巧.

此类问题显然没有最大值，只有最小值，而当x∈［-a，-c］或x∈［-c，-a］时，f（x）的单调性亦无法确定，所以求最小值时还要另寻其他方法.对于此类问题的传统解法是根据式子的结构特征，构造两点间的距离公式的结构形式，运用其几何意义求解表示（x，0）到点的距离之和，再根据两点间线段最短，求得其最小值，及取得最小值时x的值.

此类问题用导数解决也非常漂亮.

导数解决此类问题无需任何变换技巧，直接求导即可解决，减轻学生学习负担.