浅析构造法在三角函数解题中的应用

☉福建省上杭县第一中学 邱克荣

应用构造思想解题的关键在于是否明确清晰的解题方向以及是否弄清条件的本质特点与背景，搞清楚构造的目的并进行逻辑组合是顺利解题的基础.构造命题、表达式、几何体是经常运用的方法.本文结合三角函数的具体问题对几种常用的思维方法构造进行了一定的思考.

一、构造直角三角形

运用直角三角形知识解决实际问题一般遵循以下步骤：

（1）将实际问题抽象成解直角三角形的问题并作出平面图形；

（2）根据题中所给条件选择合适的函数解直角三角形；

（3）得到数学问题的答案并最终令实际问题得解.

图1

二、构造一元二次方程

一些题目看似难度很大，但一旦寻得题目本质并进行方程的构造以后就会简单很多，题目轻松得解的同时还会令解题者在奇妙的解题构思中获得乐趣与激情.

例2 已知A，B，C为△ABC的三个内角，sinA≠sinB，且（sinC-sinA）2-4（sinA-sinB）（sinB-sinC）=0，求

思路分析：题目给出的等式是b2-4ac的形式，因此可以考虑构造一元二次方程来寻找解决这一问题的突破口.

又sinA-sinB≠0，因此可以构造一元二次方程（sinA-sinB）x2+（sinC-sinA）x+（sinB-sinC）=0. 方程各项的系数之和为0，所以1为方程的根.由已知b2-4ac=0可知，方程的另一个根也是1，由韦达定理可得即2sinB=sinA+sinC.所以

三、构造复数方程

根据复数的运算与性质可以对三角函数的部分问题进行解题新思路的构造.

思路分析：根据上式的结构特征可以联想匹配的三角函数对偶式进行复数方程的构造并因此寻求解题的突破口，然后再根据复数的性质来解决这一问题.设a=

四、构造相似三角形

利用相似三角形的基本性质进行三角函数问题的解决，使学生在知识的综合运用中提升解题能力.

例4 在△ABC中，已知2b=a+c，且a

图2

思路分析：由C-A=90°这一条件可联想相似三角形并根据相似三角形的性质和勾股定理可以求出其三边之比.如图2，在△ABC中，在AB上取一点D，满足∠ACD=90°，可得∠BCD=∠A，∠B=∠B，△ABC∽

在Rt△ACD中，（c-y）2=x2+b2.

五、构造长方体

利用立体几何中长方体的基本性质解三角函数也是一种新的思路与解题途径.

例5 若锐角α，β，γ满足cos2α+cos2β+cos2γ=1，则tanα·tanβ·tanγ的最小值是多少？

思路分析：锐角α，β，γ满足cos2α+cos2β+cos2γ=1这一条件可以令我们联想长方体的长、宽、高的平方和等于其对角线的平方这一性质，因此解决这一问题可以进行长方体的构造.令长方体的三棱长分别为a，b，c，对角线长是1，三棱和对角线所形成的角分别是α，β，γ，，当且仅当a=b=c时，等号成立.因此，当a=b=c时，tanα·tanβ·tanγ的最小值为

六、构造圆锥曲线方程

椭圆、抛物线、双曲线、圆等曲线方程在三角函数中的应用往往会令学生感觉困难重重，教师应引导学生进行知识的联想、整合与交叉应用.

思路分析：学生面对这一关于三角的命题往往会容易联想到化简的方法，不过题中也有平方和等于1的结构特征，这正好跟椭圆的标准方程的结构是相吻合的，因此，我们可以联想椭圆方程的构造来换角度解决此，由题设得点M（cos2A，sin2A）在椭圆C上，又N（cos2B，sin2B）也满足椭圆C的方程，因此可推理出点N也在椭圆上，经过点N的椭圆C的切线方程=1，即x+y=1.又点M（cos2A，sin2A）满足x+y=1，因此点M也在这一切线上.根据过椭圆上一点的切线是唯一的这一性质可得点M与点N是重合的，因此

构造法解题对于学生来说是一种创新与挑战，一种数学形式的构造绝不是单一思维方式可以完全支撑的，需要多种思维方式相互联系、交叉并融合才能真正实现构造解题.本文列举的诸多思维构造只是借助形式的特殊性而实现的，这对于学生构造法思维方式的形成大有裨益，不仅如此，数学各知识点之间的联系和数学的统一性也在这些构造法的思维中展现得充分而清晰，学生往往能够在其中获得更多数学美的体悟与知识的掌握.H