探究·变式·拓展·总结——从一道向量习题的教学处理说起

☉江苏省郑集高级中学 王 鹏

教学过程中，学生需要借助习题的练习来巩固对知识的理解，并由此来发展自己的数学思维和问题解决能力，教师在此过程中也要提供适当的引导和帮助.下面笔者结合一道向量习题的教学处理，谈谈自己的认识.

一、探索一题多解，全方位分析问题

师：在前面的复习过程中，我们回顾了平面向量的概念以及坐标表示方法，特别是关于向量问题的分析过程中，我们一直在强调怎样的数学思想？

生：数形结合.

师：很好，我来看下面这样一个问题.

师：这是一个将向量作为载体的面积问题，它的思路切入点在什么位置呢？大家要积极发掘相关条件之间的关系，并寻求问题的解决方法.

学生进行思考，并积极讨论，将自己对问题的基本看法展示出来.

生2：可以从几何的方法来处理，对向量进行平移，画出四边形ABCD（如图1所示），因此有

图1

师：通过比较，我们发现这个方法显然没有用到之前的隐含条件，它从数形结合的角度着手，完成了问题的处理.那么这个方法是否存在普遍性呢？现在，我们有这样一个问题：明确告诉你A—→C与B—→D没有垂直关系，如何求解四边形ABCD的面积？

反思：这个问题的解题过程是我们引导学生进行说题的过程，所谓“说题”，这是一个相对新颖的教学名词，在概念上有点类似于“说课”.但是和“说课”却也有所差别，说题的主体可以是老师，比如教师在讨论命题设想，或是讨论试题评讲时，我们经常会通过“说题”的方法探讨相关问题有什么优势或特点，在讲评过程中存在什么注意点等，从这一层面来讲，说题和说课存在相通之处.和说课不同的地方是，说题也可以是一种学生行为，面对一个问题，学生从自己认识的角度着手，对问题情境展开分析，并将自己的思路展示出来，学生的说题过程也是一种交流和讨论的过程，他们在彼此交流中互相启发，并最终形成认识和理解.

在上述问题分析过程中，如果学生将自己的思路定格为第一种处理方法，则很容易让学生形成思维定式，这也导致如果下次学生遇到问题：明确告知A—→C与B—→D没有垂直关系，求解四边形的面积.学生很可能在思维上陷入停滞，而我们在习题教学的过程中引导学生展开分析和讨论，这样的处理可以让学生形成更加深刻的认识.

很多学生在学习过程中经常止步于一个答案，貌似这样处理，问题就已经全部解决.但是，这样可能在一定程度上制约了他们思维的发展，因此一题多解往往都是我们引导学生展开探索的重要手段.一题多解的研究能够推动学生将思路向更深层次发展，这可以让学生的思维更加灵活多变，也有助于学生思维品质的提升.

二、变式处理，活化学生的数学思维

在上述问题的基础上，我们对问题进行变式处理，由此来推动学生，让他们的思维向更加活跃的层面推进和发展.比如在处理上述问题的过程中，我们可以用以下做法来进行变式.

师：现在这个题目中已经不存在原先题目中的垂直条件，因此原本的第一种方法已经无法继续使用，我们该如何处理呢？

生3：可以进行向量的平移，如图2所示，可得S四边形ABCD=S梯形ABED-S△CDE=

图2

生4：还可以这么处理，S四边形ABCD=

师：不错，我们可以类比之前同学的处理方法，对向量进行平移，最终得到四边形的面积.你们还有其他的做法吗？

学生继续讨论，又给出了一些其他的处理方法.

反思：在课堂教学的过程中，我们要力争让学生真正成为学习的主人，我们也要充分尊重学生的个人见解，对他们的创新意识和发散思维进行保护，同时也有效拓展学生的探究空间.我们要让学生能够自我感受到数学探究过程中的那份专注和激情，也让学生能够感受到挑战带来的喜悦和兴奋.

上述案例其实是对原先例题的发展，直接给出一个不垂直的条件，为学生的探究提供了一个新的平台.学生在处理过程中将充分运用向量的夹角公式、三角转化公式等等.如此则能促使学生的认识得到发展和提升.

三、有效拓展，引导学生思维向纵深发展

对于上述问题，教师继续进行拓展：在一个四边形ABCD中，A—→C=（a，b），B—→D=（c，d），则四边形ABCD的面积是多少？

师：结合上述问题，我们是否可以推导出四边形ABCD的面积公式？

生5：我们对图形进行适当转化，如图3所示，S四边形ABCD=S△ABD+S△DBC=

图3

生6：我还有这样一个想法，S四边形ABCD=

师：很好！这两种方法都能非常好地解决问题，同时还能充分体现出数形结合的基本思想.由此我们通过对最先那个问题的处理，得到了一个一般性的结论：在一个四边形ABCD中

反思：在上述教学过程中，我们在经过一题多解、变式处理之后，果断引导学生进行拓展，让学生在更进一步的思考和讨论中完成结论的总结.这一过程流畅而自然，很容易让学生产生深刻的印象.事实上，如果我们将预设的结论强加在学生的身上，他们将相当勉强，而且很可能第二天就忘掉，所以让学生在自主探索时形成认识和理解，这样才是真正属于学生的认识.

四、总结归纳，促使学生获得更大提升

就学生的数学学习而言，我们不能让他们的研究止步于一个结论的获得，结论探索过程中所产生的思维方法或数学思想，这些都是我们在教学过程中需要重点关注的.比如，在上述问题讨论之后，我们安排学生展开总结归纳，交流经验和体会.

师：通过刚才的研究，你们有什么体会吗？

生7：经过刚才的思考和研究，我感到特别有成就感.

生9：数形结合的思想真是太奇妙了.

师：在上述问题的分析和研究中，我们抓住两个主要角度来进行分析研究，其一是向量的坐标运算，其二是向量的几何意义，最终完成了四边形面积的求解，而且我们还由数量积的计算发展到向量夹角公式的研究，最后通过数形结合思想的运用得到了更加普遍的结论.

反思：在学生完成探索和研究之后，教师要引导学生展开分析，要鼓励学生结合自己学习中的感受来提炼学习经验，这是相当重要的.正所谓“实践出真知”，如果只有实践，而缺乏一个总结和提炼的过程，学生的真知将很难自己浮出水面，所以这一过程需要老师引导学生在总结中概括出来.

综上所述，在有限的数学学习时间中，教师要为学生提供说题、探索、发现、总结的机会，让学生能够在主动研究和分析中获得真知，完成能力的飞跃.