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小议编题对于教师专业化成长的必要性

2018-11-17江苏省南通市通州区金沙中学陈玲钰

中学数学杂志 2018年21期
关键词:命制双曲线最值

☉江苏省南通市通州区金沙中学 陈玲钰

众所周知,每年的高考真卷试题都是不少大学教授、中学教师合力创编的,其中不乏出产了很多优秀的试题.在为这样的试题叫好的同时,我们不禁要问,为什么一线教师更多的关心解题?却不太关心试题背后的命题机制?如何让教师从解题向编题、命题转变是提升教师专业化素养的关键.

一、概念理解的必要性

教师的成长需要两个环节,第一是教师自身对于概念的深入理解,第二是如何命制与概念相关的数学问题.不难发现,当下的数学教学对于概念教学的指导是乏力的、缺乏引导的,对于概念的一个定义、三项注意的教学方式依旧出现在诸多课堂的常态课教学中,这样的课堂教学首先说明了一个问题——教师自身没有深层次地理解数学概念,因此无法用自己的语言丰满地表述概念、阐述理解,只能通过大量的训练去替代,试问:这样的概念教学对于教师而言如何提高自身的专业化水准呢?没有深厚的概念理解,又如何去命制一个优秀的试题呢?因此教师自身对于数学概念的理解是必需的.

分析:最大值和最小值概念是数学必修1教材中提出的,教材中对于最值强调的是两个方面:其一,对任意定义域D中的自变量x,f(x)≤M成立;其二,必定存在x0∈D,使得f(x0)=M.笔者以为,学生并不了解这一概念的精髓,当且仅当才是最值概念最核心的理解.另一方面,最大值还有高等数学化的表述,即这种理解进一步提升了最值概念的代数化特征、抽象性,从而提高了学生的抽象思维和逻辑推理能力.

命题:已知定义在[0,2π]上的最大值函数f(x)=max{sinx,cosx},最小值函数g(x)=min{sinx,cosx},其中根为

考点分析:本题主要考查三角函数的图像与性质以及特殊值的运算,考查学生数形结合的能力,考查学生对问题的理解分析能力,该题运算量较大,综合性较强,有一定难度.

设计意图:要求学生画出正弦函数与余弦函数的图像,进一步得到最大值函数f(x)和最小值函数g(x)的图像,结合正余弦函数的性质计算x1,x2,x3,x4,然后再去检验选项的正确性.

我们易得正弦函数与余弦函数的图像,如图1.

图1

得到最大值函数f(x)的图像,如图2.

图2

图3

说明:正确地理解最值概念,以及最值的高等数学表达符号,这都是对于最值概念最为深刻的理解,笔者以为在理解概念的基础上,结合自身教学经验,编制合理的试题有助于加深概念的理解,本题中对max{x,y}=两个符号的正确理解,并利用三角函数图像较为直观地区分学生对于最值的取舍,这是教师在自身理解最值概念基础上编制的数学问题,是以三角为背景的考查函数最值概念的基本问题,显得命题思路较为清晰.

二、寻求变式的必要性

变式教学是中国数学教育的重要特征之一,其大大提高了学生对于数学知识的理解力,因此变式教学往往对于学生理解数学有着重要的意义.在很多优秀的试题中,知识点的呈现往往连贯而经典,是多位老师通力合作的结果,对于教师而言,如何将这样的问题进一步改编呈现,对于学生来说,不仅了解命题的动向,也深刻地理解知识的内在,对于教师而言,大大加快了其自身专业化命题的素养.

图4

分析:如图4,不妨设△ABF2的边长为m,则|BF1|=m-2a,据双曲线的定义有:|AF1|=|AF2|+2a,所以m+m-2a=m+2a,即m=4a,|AF1|=6a,|AF2|=4a.在△AF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=(6a)2+(4a)2-2×6a×4acos60°,所以|F1F2|=

另法分析:如图5,不妨设BD=1,则AD=2,于是AC=3-2a,CD=1+2a.在△ACD中,由勾股定理得(1+2a)2=22+(3-2a)2,所以该双曲线的离心率为

图5

说明:本题作为压轴题具有很好的区分度.本题主要考查双曲线的定义、离心率的求法及勾股定理.解法一使用坐标运算,利用点在双曲线上构造离心率方程求解;解法二借助双曲线定义和勾股定理求解,对比两种解法,明显第二种解法抓住了问题本质,运算量较小.改编本题的主要意图是让学生进一步理解:解决离心率问题的导向:首先思考椭圆、双曲线的定义,进一步理清蕴藏其中的平面几何性质,最后利用相关等式求解.

三、编制多解性问题的必要性

命题的另一个正确视角是编写的问题要有适度的多思维性,即可以从多视角入手,提高学生对于知识理解的全面性,这种全面性依托了教师对于问题的合理命制,以及从知识点角度对于问题的考虑.解题大师罗增儒教授说:解题要解透一道题,而不是关注其数量的多少,解透一道题必然要考虑试题的多角度解答,这样对于教师的成长是快速的.笔者以为,对于学生而言也是一并如此,因此命制更好的试题成为多解性问题探索的条件.

问题:如图6,已知圆C:x2+(y-2)2=5,A(-1,0),M是圆C的弦AB的中点,且|OA|=|OM|.则直线AB的斜率为_______.

分析:本题为笔者原创题,主要在圆的垂径定理上设计关系.所以解法2将两个垂直条件结合,直接秒杀该题.若不能看出其中的垂直关系,也能经过运算求解,这便是解法1.

图6

图7

解法2:如图7所示,连接MC,MD.

说明:中学数学问题的解决显然是两个主要视角,其一是代数化的视角,本题解法1自然是注重学生的代数运算的能力,因此在学生日益缺乏运算能力的时候,平时关注代数视角是不错的选择;其二是几何直观,可以这么说,中学数学的几个典型章节,都是以几何为主的解法占据了优势,譬如向量、直线和圆、抛物线问题、椭圆双曲线离心率问题、函数图像问题等,因此命制本题恰恰是双管齐下的复习数学问题解决的两个主要导向——代数和几何.

总之,编题是教师成长路上不可或缺的环节,要如何编题、编什么样的问题,这是值得教师不断思考和总结的.笔者以为,以高考真卷为参考,编制以概念理解为导向的试题是第一选择,以高考真卷问题改编是第二选择,以一题多解的命制为第三选择,长此以往,对于教师自身命题能力的提高有着重要的作用,成为专业化成长的关键之一.

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